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matrice et binome de newton

Posté par
alex88 13-09-08 à 11:50

Bonjour,

J'ai un exercice à faire et je suis bloqué!

On considère la matrice A = (2 -1 0) et la matrice B telle que A= 2 * I3 + B
                            (0 2 -1)
                            (0 0  2)

Soit n appartenant à N*, calculer B² puis B^n. En déduire à l'aide de la formule du binome, la matrice A^n.

J'ai trouvé B² mais je ne trouve pas de relation reliant B et B². POuvez vous m'aider?

Merci d'avance!

Posté par
Arkhnorre : matrice et binome de newton 13-09-08 à 11:53

Bonjour.

Et si tu calcule B3, ça donne quoi ?

Posté par
alex88re : matrice et binome de newton 13-09-08 à 11:55

j'ai calculé B^3 et ça donne 0. Mais cela ne m'a pas avancé !

Posté par
Arkhnorre : matrice et binome de newton 13-09-08 à 11:58

Si B3 est la matrice nulle, que vaut Bn ?

Posté par
alex88re : matrice et binome de newton 13-09-08 à 12:06

Bin B^n =0 quand n différent de 1 et 2

Posté par
Arkhnorre : matrice et binome de newton 13-09-08 à 12:14

Bien
Maintenant, appliques la formule du binome de Newton pour calculer A^n.

Posté par
alex88re : matrice et binome de newton 13-09-08 à 12:51

Mais ne faut il pas utilisé un raisonnement par récurence pour montrer que B^n =0 pour tout n différent de 1 et de 2?

Posté par
alex88re : matrice et binome de newton 13-09-08 à 13:02

je n'arrive rien à trouver avec la formule du binome de newton pour A^n

Posté par
Fradelre : matrice et binome de newton 13-09-08 à 13:18

Que trouves-tu pour  An ?

Posté par
alex88re : matrice et binome de newton 13-09-08 à 13:45

je n'arrive pas du tout à trouver un résultat correcte, pouvez vous me donner des pistes?

Posté par
Arkhnorre : matrice et binome de newton 13-09-08 à 17:39

Pour montrer que \rm B^n=0 \forall n\ge3 , il faut bien faire une récurrence, mais c'est assez simple. (vraie au rang 3, et la matrice nulle fois une autre matrice, ca donne toujours la matrice nulle)

Ensuite, tu as décomposé A = 2I_3 + B, et 2I_3 et B commutent. Tu peux donc appliquer la formule du binome de Newton.

Je la rapelle au cas où :

Citation :
Si A et B sont deux matrices carrées qui commutent pour le produit, alors, pour tout entier naturel n, on a : 3$ (A+B)^n = \Bigsum_{k= 0}^n {{n}\choose{k}} A^{n-k}B^k


Posté par
alex88re : matrice et binome de newton 13-09-08 à 23:44

C 'est fou mais en appliquand la formule du binome de newton, je n'arrive pas à trouver de solution, je suis encore bloqué!

Posté par
Arkhnorre : matrice et binome de newton 14-09-08 à 08:37

A = 2I_3 + B
A^n = (2I_3+B)^n = \Bigsum_{k=0}^n {n\choose k}(2I_3)^{n-k}B^k = \Bigsum_{k=0}^n {n\choose k}2^{n-k}B^k

Comme B^k = 0, pourk \ge 3, tous les termes de la somme sont nuls à partir du rang 3.
Ainsi, A^n = \Bigsum_{k=0}^2 {n\choose k}2^{n-k}B^k = 2^n B^0 + n2^{n-1}B^1 + \frac{n(n-1)2^{n-2}}{2}B^2

Maintenant, tu peux continuer le calcul, tu connais B^0, B^1, B^2.

Posté par
alex88re : matrice et binome de newton 14-09-08 à 12:54

Merci,

Mais B^1 et B^2 je ne les connais que comme des matrices alors comment les remplacer dans la somme?

Posté par
Arkhnorre : matrice et binome de newton 14-09-08 à 15:32

Tu sais additionner des matrices, et les multiplier par des scalaires, non ?

Posté par
alex88re : matrice et binome de newton 14-09-08 à 15:36

Pour B j'ai (0 -1 0)
            (0  0 -1)
            (0  0 0)

Pour B2 j'ai (0 0 1)
             (0 0 0)
             (0 0 0)

Mais après je ne sais pas qui en faire!

Posté par
Arkhnorre : matrice et binome de newton 14-09-08 à 15:37

Je ne vois pas ce qui te gène.

Tu n'as qu'a remplacer dans la formule que j'ai donné plus haut.

Posté par
alex88re : matrice et binome de newton 14-09-08 à 15:41

donc dans le résultat j'ai des matrices c'est ça?

et je n'ai pas compris comment vous avez trouvé (n(n-1)2^(n-2))/2 . B2

Posté par
Arkhnorre : matrice et binome de newton 14-09-08 à 15:44

Que vaut n \choose 2 ?

Posté par
alex88re : matrice et binome de newton 14-09-08 à 15:45


c'est bon nikel

Posté par
alex88re : matrice et binome de newton 14-09-08 à 16:04

je trouve donc A^n = 2^n + (0 -n2^(n-1) 0)           +(0 0 (n(n-1)2^(n-2))/2)
                           (0    0      -n2^(n-1))    (0 0    0             )
                           (0    0      0)            (0 0    0             )


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