Bonjour.

Cherche f(1), f(X), f(X²).

aah c'est ce que j'ai fait je trouve avec P=aX²+bX+c

                       (2(bv-cu)  2u(2v-b)  -4av)
Mat_(1,X,X²)(f)=(4(av-c)      -4b         -8a)
                       (2(au-1)     -4a            0)


mais je suis pa du tout sur

est ce que vous connaissez un moyen pour verifier

f(1) = - 2u - 4X

f(X) = 2v + (2v-2u)X - 2X²

f(X²) = 4vX + 2uX²

Donc, la matrice de f dans la base canonique est (sauf erreur de calcul de ma part) :

oui mais P ce n'est pas X, PR2[X]
il ne faudrait pas calculer f(P(1)),f(P(X)),f(P(X²))

Revois la définition de la matrice d'un endomorphisme dans une base donnée. Ne confonds pas avec l'image par f d'un vecteur.

ok, en faite moi j'ai calculé l'application f(P) alors que c'est juste f.

par contre je trouve
f(X)=2v-2X²  
ensuite on demande de trouver le noyau en fonction de Q
je doit fair la meme chose sans changer Q...

Tu as raison, j'avais mal écrit u et v.

Ainsi :



Pour le noyau, tu peux résoudre l'équation d'inconnue P : f(P) = O.

je trouve pour le noyau Ker(f)=(Q²,Q*Q',Q'²)

Si on calcule le déterminant de A, on trouve 0, ce qui prouve que f n'est pas inversible.

Donc, Ker(f) est un sous-espace non réduit à {O}

Si on écrit f(P) = O, avec P = a + bX + cX², on trouve le système :



Cela donne : a = v.c et b = u.c, donc, les solutions sont du type :

c.( v , u , 1 )

Les polynômes du noyau sont donc les polynômes du type :

R(X) = c.(v + uX + X²) = c.Q(X)

Ker(f) est la droite vectorielle engendrée par Q.

Remarque

On peut aussi résoudre l'équation différentielle f(P) = 0 : 2P'Q = 2PQ'.

Elle admet bien pour solutions P(X) = k.Q(X)

Ok merci
moi j'avais trouvé
f(1)=-2Q' ; f(X)=2Q-2Q'X ; f(X²)=4XQ-2Q'X²
puis je trouve Ker(f)=(Q2,Q*Q',Q'2) avec le systreme:

-2Q'²x+2Qy=0
  -2Q'y+4Qz=0
      -2Q'z=0
on ne pouvait pas resoudre comme ça ??

Pourquoi chercher f(1), f(X), f(X²) pour trouver Ker(f) ?

La définition du noyau est P € Ker(f) <=> f(P) = O.

oulala je confond tout
effectivement c'est sa