Bonjour,

C'est bon pour la côté direct de la somme,
maintenant que penses-tu de M-M^t et de M^t+M ?

Salut,

Raisonne par analyse synthèse.
Tu supposes que S et A existent, et exprime-les en fonction de M (par exemple en calculant ^tM)

Ah salut Thallo

Merci

M + M^t = matrice symétrique

M - M^t = matrice antisymétrique

donc M + M^t + M - M^t = somme d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique.

Mon problème c'est que on obtient alors toute matrice de la forme 2M est la somme d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique
C'est à dire que ça marche pour les matrices dont les termes sont pairs.

Oui mais non

^tM = ^t(A+S) = ^tA + ^tS = ...

pardon on raisonne pas forcément dans l'ensemble des entiers en fait.
Donc en fait c'est vrai pour toute matrice ?

je regarde

^tM = ^t(A+S) = ^tA + ^tS = S - A

Donc M + ^tM = S + A + S - A = 2S
M - ^tM = S + A - S + A = 2A

M + ^tM + M - ^tM = 2S + 2A
2M = 2(S+A)
M = M
C'est donc vrai

c'est ça ?   merci

"Oui mais non" :mrgreen:

Donc on voit que 2S=M+^tM, et que 2A=M-^tM, et que A+S=M
Et maintenant, est-ce qu'on ne pourrait pas diviser par 2 par hasard ?

Salut gui_tou

S = (M+^tM) / 2
A = (M-^tM) / 2

On a M = (M+^tM) / 2  +  (M-^tM) / 2
Donc on a bien M = A + S

Le problème est que pour obtenir M+^tM / 2  = S  et M-^tM = A  on est parti de la supposition M = A + S donc il me semble qu'on a pas vraiment démontré que M = A + S ?

oui mais non ?

C'est-ce qu'on appelle l'analyse-synthèse ! :p

On a supposé que M s'écrivait sous la forme A+S, avec A antisymétrique et A symétrique,
on en déduit alors que nécessairement A=(^tM+M)/2 et S=(M-^tM)/2
Ca c'était la partie "analyse"

Puis on prend (M+^tM)/2 et (M-^tM)/2,
on a vérifié que l'une est symétrique et l'autre antisymétrique,
et ô miracle, leur somme fait...M !
Donc A=(^tM+M)/2 et S=(M-^tM)/2 conviennent !
Ca c'est la partie "synthèse"

Merci