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Matrice et systèmes linéaires

Posté par
Maksman
14-02-09 à 11:38

Bonjour, j'ai un système linéaire à résoudre faisant intervenir les matrices, mais je bloque totalement, du fait notamment qu'il y ait 6 inconnues pour 3 équations... si on pouvait me guider dans les étapes à suivre ça m'aiderait car j'ai beaucoup de mal avec les matrices (noyau/pas noyau? utiliser pivot de gauss ??)..

Voici le système :


 \\ \begin{pmatrix}1&1&0&1&0&1\\1&0&1&1&1&0\\0&1&1&1&0&0\\\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\\x_6\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\\end{pmatrix}

Merci beaucoup !

Posté par
co11
re : Matrice et systèmes linéaires 14-02-09 à 12:39

Le pivot de Gauss a l'air de marcher pas mal: seulement 2 étapes et on trouve que x1, x2 et x3 s'expriment en fonction des 3 autres.OK?

Posté par
mdi2212
re : Matrice et systèmes linéaires 14-02-09 à 17:42

Salut, même réponse pour moi.


Tchô,

Tony

Posté par
Maksman
re : Matrice et systèmes linéaires 14-02-09 à 17:44

Dites-moi si je me trompe lais la méthode du Pivot de Gauss permet d'obtenir une matrice identité et donc les solutions ??? (parce que je vois pas vraiment comment x1, x2 et x3 s'expriment en fonction des 3 autres...)

En fait, c'est surtout ce que nous a indiqué notre prof que je comprends pas du tout, il nous dit de calculer la matrice I3R et qu'à partir de là on pourrait trouver les solutions, mais je ne sais pas du tout ce qu'est une matrice I3R ???

Merci encore pour ton aide

Posté par
co11
re : Matrice et systèmes linéaires 14-02-09 à 17:52

moi non plus je ne sais pas ce qu'est une matrice I3R.
ce que je sais c'est que le pivot de gauss permet d'obtenir une matrice triangulaire et donc un système simplifié;veux-tu + de précisions.
peut-être il y a + finaud (surtout que je vois bcp de 0 ds ta matrice) mais gauss direct marche.

Posté par
Maksman
re : Matrice et systèmes linéaires 14-02-09 à 17:53

si ça te dérange un peu plus de précisions serait le bienvenue.

merci !

Posté par
co11
re : Matrice et systèmes linéaires 14-02-09 à 18:12

en remplaçant L2 par L2-L1 on obtient la matrice
1  1  0  1  0  1
0 -1  1  0  1 -1
0  1  1  1  0  0

puis on remplace L3 par L3+L2 ce qui donne
1  1  0  1  0  1
0 -1  1  0  1 -1
0  0  2  1  1 -1

donc le système s'écrit
x1+x2+x4+x6=0
-x2+x3+x5+x6=0
2x3+x4+x5+x6=0

a priori la dernière ligne donne x3 en fonction de x4, x5, x6
         la 2ème:x2 (après avoir remplacé x3 par ce qu'on a trouvé)
         la 1ère: x1
cela dit il y a moins de calculs si en dernière ligne on donne x4 en fonction de x3, x5,x6 et ensuite x2 puis x1 aussi en fonction de x3, x5,x6.

Posté par
Maksman
re : Matrice et systèmes linéaires 14-02-09 à 18:20

C'est cette méthode qu'on appelle pivot de gauss (faire des opérations élémentaire sur la matrice pour la transformer en matrice triangulaire supérieure ?), ben merci..

Mais je dois la faire sur F2 (modulo 2), je pense qu'avec cette même méthode je devrais y arriver non ?

Merci

Posté par
co11
re : Matrice et systèmes linéaires 14-02-09 à 18:25

je ne conais pas F2; qu'est-ce que c'est?

Posté par
co11
re : Matrice et systèmes linéaires 14-02-09 à 18:30

a part ça le principe du pivot de gauss est effectivement de transformer une matrice en matrice triangulaire supérieure; on a des inconnues en moins à chaque ligne; et ça se prête bien à une résolution par ordinateur ou calculatrice.

Posté par
Maksman
re : Matrice et systèmes linéaires 14-02-09 à 18:39

F2 c'est en fait F[X]/(Z/2) (polynômes à quotients dans Z/2)

Posté par
co11
re : Matrice et systèmes linéaires 14-02-09 à 18:48

si je comprends bien, dans la dernière matrice on a un 2 en dernière ligne donc en fait c'est 0 dans Z/2?
alors la dernière ligne du système est: x4+x5+x6=0
et au fait, tous les -1 peuvent être remplacés par des 1 dans Z/2 et aussi qu'on fasse L2-L1 ou L2+L1 c'est pareil?
d'accord ou je dis des bêtises?

Posté par
Maksman
re : Matrice et systèmes linéaires 14-02-09 à 19:00

nan c'est ça..

Posté par
co11
re : Matrice et systèmes linéaires 14-02-09 à 19:10

merci.



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