Bonjour,
Tu peux calculer bien sur la matrice dont tous les coeff dont les exponentielles des coeff de A...Ce qui est certain c'est que ça ne te donnera que très rarement exp A à savoir la limite de la série des A^n/n!

Bon si tu as vu la notion de série entière tu sais que la série suivante converge et a un rayon de convergence infini pour x un nombre complexe. En plus cette série vaut . Et bien il se trouve que pour les matrices on peut définir l'exponetielle de A de la même façon c'est à dire :



Le problème est de définir la convergence d'une série de matrice. Il se trouve que l'espce des matrices est un espce vectoriel norme. On met par exemple la norme suivante :



Il y a une autre propriété sympa c'est que l'espace est complet (toutes suite de Cauchy converge). On peut alors démontrer que la convergence normale d'une série implique la convergence simple de cette série. Ici nous avons donc seulement besoin d'étudier la convergence normale de . c'est à dire la convergence de



Or si tu regarde la définition de la norme, tu vois que donc tu as aussi :



Maintenant la série de droite converge (c'est la série exponetielle avec ). Donc on a convergence normale de la série dans l'espace des matrices et donc on a aussi convergence simple de la série dans l'espace des matrices.

Voila en quelques lignes comment on définit tout ça!