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matrice inversible ?

Posté par
DjoulAye 25-05-09 à 10:20

Bonjour

on me demande pour quelles valeurs de a, les matrices suivantes sont elles inversibles ?

A= \\ \begin{pmatrix} \\ 1-a&0&3\\ \\ 0&2-a&4\\ \\ 0&0&1-a\\ \\ \end{pmatrix}
Je trouve qu'il faut a different de 1 et 2

B= \\ \begin{pmatrix} \\ 2-a&1&2\\ \\ 4&2-a&4\\ \\ 2&1&2-a\\ \\ \end{pmatrix}

Je trouve qu'il faut a different de 0 et 6

C= \\ \begin{pmatrix} \\ 1-a&1&1\\ \\ 1&1-a&1\\ \\ 1&0&1-a\\ \\ \end{pmatrix}

Il faut a different de 0 et 3 ?

Est ce correct?

Merci

Posté par
Narhmre : matrice inversible ? 25-05-09 à 10:39

Bonjour,

Pour A et B c'est ok.
Pour la C, je suis d'accord pour a différent de 0 mais pour a=3 la matrice est bien inversible :
3$ C^{-1}=-\fr{1}{3}\begin{pmatrix} \\ 4&2&3\\ \\ 3&3&3\\ \\ 2&1&3\\ \\ \end{pmatrix}.

Tu as du faire une erreur dans le determinant de C, tu trouves quoi ?

Posté par
DjoulAyere : matrice inversible ? 25-05-09 à 10:55

C= \\ \begin{pmatrix} \\ 1-a&1&1\\ \\ 1&1-a&1\\ \\ 1&0&1-a\\ \\ \end{pmatrix}


= \\ \begin{pmatrix} \\ 0&2&2-a\\ \\ 0&1-a&1\\ \\ a&1&1-a\\ \\ \end{pmatrix}
(en faisant C1:C1-C3 et L1:L1+L3)

soit

a \\ \begin{vmatrix} \\ 2&2-a\\ \\ 1-a&1\\ \\ \end{pmatrix}

soit a( 2 - (2-a)(1-a))

= a²(3-a)

DOnc il faut bien a different de 0 et 3 non ?

Posté par
Narhmre : matrice inversible ? 25-05-09 à 11:23

Non
Tes opérations élémentaires sur C1 et L1 comme tu l'as fait sont bonnes, en revanche tu as fait une erreur d'étourderie ( à l'intersection de la 2e lignes et 2e colonne )
C=\begin{pmatrix} \\ 1-a&1&1\\ \\ 1&1-a&1\\ \\ 1&0&1-a\\ \\ \end{pmatrix} \ \longright_{C_1\to C_1-C_3} \ \begin{pmatrix} \\ -a&1&1\\ \\ 0&1-a&1\\ \\ a&0&1-a\\ \\ \end{pmatrix} \ \longright_{L_1\to L_1+L_3} \ \begin{pmatrix} \\ 0&1&2-a\\ \\ 0&1-a&1\\ \\ a&0&1-a\\ \\ \end{pmatrix}

D'ou 3$ \det(C) = \det{\begin{pmatrix} \\ 0&1&2-a\\ \\ 0&1-a&1\\ \\ a&0&1-a\\ \\ \end{pmatrix}}=a(1-(2-a)(1-a))=-a^3+3a^2-a

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