Inscription / Connexion Nouveau Sujet
matrice par blocs et déterminant
Voici un exercice sur lequel je buche depuis pas mal de temps. Je ne trouve aucune piste de départ...
A et B deux matrices réelles carrées d'ordre n
M est défini par bloc par :
M = [A B]
[-B A]
Il faut montrer que dét(M) est positif ou nul.
L'énoncé précise qu'il faut considérer M comme une matrice d'ordre 2n a coefficients complexes.
Je ne vois pas trop par où commencer. En effet, l'indication semble nous diriger vers :
- soit tte matrice a coef complexe est trigonalisable
- soit le polynome caractéristique de tte matrice complexe est scindé
Merci d'avance pour vos pistes de réflexion qui pourrait m'aider a résoudre cet exercice.
Anthony.
salut
1) suppose que M est triangulaire; combien vaut det(M)?
2) peut-on rendre notre supposition vraie?
-Si je suppose M triangulaire alors cela revient a écrire B=0 et A triangulaire.
Ainsi M = [A 0 ]
[0 A ]
d'où det(M)=(det(A))² 
0
-M est trigonalisable alors soit une matrice P inversible d'ordre 2n a coef complexe et C,D et E trois matrices d'ordre n a coef complexe.
alors :
P⁻¹MP = [C D] = T
[0 E]
det(T) = det(C).det(E)
il faut donc essayer d'avoir des informations supplémentaires sur C et E...sachant qu'au départ A et B sont réelles...
Comme M est a coef réel au départ det(M) est réel donc det(T) également.
Donc det(C) et det(D) sont :
-soit tous les deux imaginaires purs
-soit tous les deux réels
Soient n 
* .
Si U , V , W , H sont dans Mn(
) je désignerai par D(U , V , W , H) le déterminant de la matrice m(U,V,W,H) M2n()dont la première ligne est formée des 2 blocs U , V et la deuxième par les blocs W et H. m(U,V,W,H) est donc
[U V]
[W H] trop pénible (pour moi) à écrire en LATEX.
Pour tout t on a : D(U , V , W , H) = D(U + tV , V , W + tH , H) = D(U + tW , V + tH , W , H) . C'est facile à voir .
Si A et B sont dans Mn() je pose f(A,B) = D(A , B , -B , A)
J'ai donc : f(A,B) = D(A + iB , B , -B + iA , A) = D(A +iB , A , 0 , A - iB) = det(A + iB).det(A - iB) .
Si A et B sont dans Mn(
) 
Mn() on a donc f(A,B) = |det(A + i B)|2 puisque det(A - iB) est le conjugué de det(A + iB).
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac