Bonjour
tout d'abord, une précision : les 1 sur la diagonale s'arrêtent où ? à la troisième ligne ? à l'avant dernière ? entre les deux ?

Mais de toutes façons, ta matrice étant triangulaire, son déterminant caractéristique le sera aussi : il sera tout factorisé !

bonsoir
>>lafol je ne la vois pas triangulaire,la majorité des 1 sont au dessus de la diagonale  de la première ligne à l'avant dernière non?

A mon avis, pour le trouver directement sous forme factorisée, ca sent la récurrence

bonjour.

en effet la matrice n'est pas triangulaire. la diagonale est 1,0...,0 et on retrouve au dessus de chaque terme de la diagonale un 1.

on te demande une factorisation?
pour n=3 les valeurs propres ne me semblent pas évidentes
par contre en développant suivant la première colonne on trouve une forme assez sympathique sauf erreur de calcul

qu'est ce que l'on veut faire avec ce polynôme?la question suivante peut nous aider

On ne me demande pas la forme factorisé mais ensuite on me demande de montrer que les sous espaces propres sont de dimension 1. Donc pour cela il est preferable d'avoir la forme factorisé afin d'avoir une idée des valeur propres non?

Bonjour, yo69

Pour déterminer la dimension du sous-espace propre associé à t, il suffit de démontrer que la matrice (A_n-tI) est de rang n-1, ce qui est facile à faire.

oups ... j'ai lu trop vite je n'avais pas vu les deux 1 de la première ligne

Tu n'as pas besoin de la factorisation, il suffirait que ton polynôme caractéristique n'ai ques des racines simples.(mais je n'ai pas essayé)

je suis bien d'accord mais justement la forme factorisée me renseigne sur l'ordre de multiplicité des valeurs propres. Si je n'ai pas le polynome caractéristique sous forme factorisé, comment est-ce que je vais trouver les valeurs propre et ainsi en deduire que les sous espaces propres sont de dmension 1?

encore une fois il n'est pas nécessaire de connaître les valeurs propres pour prouver que les espaces propres sont de dimension 1 ....ce qui ne veut pas dire que c'est facile

Bonjour

En notant il me semble que en développant par rapport à la dernière ligne, on trouve



qui permet peut-être une attaque par récurrence. (Je ne l'ai pas fait, c'est juste une suggestion).

Merci camelia. Ta formule n'est pas tout a fait correcte mais m'a mise sur la voie d'une autre formule assez proche qu'il ne me reste plus qu'a demontrer.

Pour en revenir aux espaces propres:comment montrer qu'ils sont de dimension 1 si on ne connait pas les valeurs propres? On sait que E_i=Ker(A-X_iid) mais on en revient toujours aux valeurs propres.

bonjour à tous,
>>Camélia,j'avais trouvé cette relation ou presque(signes opposés mais je calcule mal)

>>yo69 on peut très bien comme dit lolo217 montrer que  pour donné Eest de dimension 1  ,les coordonnées x_{i 1in} d'un vecteur de Es'expriment facilement en fonction de x₁

je suis désolé mais je n'arrive pas a faire le lien.on sait que si v est un vecteur d'un ev E etune base B=(e₁,...,e_n) de E alors v=v_ie_i. Si on prend E=E, x E on a malgré tout pas de base de E comme on ne connait pas sa dimension

Tiens tiens ne serait pas un certain DM à rendre pour vendredi ? ^^

Au final on trouve, en dimension n :

Xa = (-1)ⁿ(ⁿ - i^n-i)

la somme allant de 1 à n

Et, effectivement la dimension 1 des sep se montre bien en utilisant le système issu de Ker(A_n-I_n), avec une racine quelconque.

On montre ainsi que les x₂, x₃, ..., x_n s'expriment tous en fonction de x₁.
Il faut juste noter que les deux dernières équations du système permettent d'exprimer x_n en fonction de x₁ de deux manières différentes et donc, il faut vérifier que l'égalité entre ces deux formes n'implique pas que x₁ soit nul. Car un x₁ nul entrainerai la nullité de tous les x_i, ce qui engendrerait un sep de dim != 1.

J'anticipe sur la deuxième question : méthode de Cardan (cf google). ^^

tu fais la résolution du système (A_n-I_n)X=0 avec X de composantes x_i1in
la première équation donne x₂=(-1)x₁
ensuite x₃=((-1)-2)x₁
...
tu trouves qu'un vecteur de E as ses composantes de la forme x₁,a₂x₁,...a_ix₁,...a_nx₁ les a_idépendant de    (x₁K  R ou C?)
donc Eest la droite vectorielle engendrée par e₁+a₂e₂+....+a_ne_n

non pas du tout .

Merci beaucoup a tous de m'avoir aidé.

Bonsoir.
Je me permet de reprendre ce sujet car j'ai de nouveau un probleme pour une autre question.
En effet il faut que je montre que A_n admet une unique valeur propre dans ]0;+[.
pourriez vous me donner une piste?

Merci d'avance.

bonsoir,
il faut donc montrer que D_nne s'annule qu'une fois sur R⁺
D_n(0)=(-1)ⁿ⁺¹n
si n est pair  D_n doit donc être croissante sur R⁺
et decroissante si n impaire
c'est vrai pour D₂
donc en utilisant la relation entre D_n et D_n+1(je n'ai plus exactement les signes en tête) on doit pouvoir montrer que sur R⁺ D_n croissante =>D_n+1décroissante et inversement je ne suis pas sure j'y pense juste maintenant

n impair

il faut peut etre le demontrer par reccurence. mais je ne comprend pas la relation entre la croissance et la decroissance, et le fait que le déterminant s'annulera

si je ne me trompe pas
si n est pair
D_n(0)<0 et lim D_n(x)=+oo en+oo donc si la fonction polynôme  est croissante sur R⁺elle ne passe qu'une fois par la valeur O sur R⁺ donc le polynome caractéristique D_nn'a qu'une racine positive
tu essaies une récurrence

dans mon post de 21h24 il faut remplacer"D_n doit donc être croissante par" il suffit"que D_nsoit croissante

merci a toi veleda pour ton aide

je t'en prie