Bonjour à tous ,

Voici l'énoncé de mon exercice. Je me suis arrêtée à la question 5.
Est-ce que quelqu'un pourrait m'aiguiller pour la question 6 s'il-vous-plaît ?


Considérons les matrices P et Q suivantes :        
P =  

et Q =

où I = I₃
1. Calculer P² P Q, QP en fonction de P.

2. Calculer les produits (4I − P)Q et Q(4I − P). Qu'en concluez-vous pour la matrice Q ?

3. Montrer que pour tout entier naturel n, il existe des réels a_n et b_n tels que :

Qⁿ = a_nI + b_nP,

les suites (_an) et (_bn) vérifiant les relations de récurrence :



avec a₀ = 1 et b₀ = 0.

4. En déduire a_n en fonction de n.

5. Justifier que pour tout entier n, non nul :




6. En déduire que pour tout entier n : b_n =


7. Donner alors l'expression, sous forme matricielle, de Qⁿ en fonction de l'entier n.

8. On considère les suites réelles (x_n)_n∈N,(y_n)_n∈N  ,(z_n)_n∈N
, définies par :




avec x₀ = 1, y₀ = z₀ = 0

On pose alors : Un =


(a) Déterminer U0 et U1.
(b) Vérifier que, pour tout entier naturel n : U_n+1 = QU_n.
(c) En déduire que, pour tout entier naturel n : U_n = QⁿU_0.
(d) En déduire l'écriture de x_n, y_n, z_n en fonction de n, puis leur limite lorsque n tend vers plus l'infini.