Bonjour, DTB

On montre que S est le carré d'une symétrique réelle définie positive A (exercice classique).
Ensuite:
    donc      
ce qui montre que la matrice       est symétrique réelle, donc diagonalisable.
Comme M est semblable à cette matrice, M est diagonalisable.

Il nefaut pas que A soit orthogonale ? J'ai du mal à suivre ... désolé ...

On arrive facilement par des calculs simples au fait que SM est symétrique. Mais je ne me souviens plus des propriétés des matrices symétriques et je ne peux pas aller plus loin

Bonjour

Je me permet de reprendre le post de perroquet :

Notons C = A.M.A^-1. Montrons que C est symétique, donc que ^tC = C

^tC = ^t(A.M.A^-1) = ^t(A^-1).^t(M).^t(A) = (^tA)^-1.^tM.(^tA) = A^-1(^tM)A = A.M.A^-1 = C

Et c'est gagné, tu conclus grâce à l'argument de perroquet.

Bonne journée

Bonjour ;

On peut aussi montrer (par exemple par le procédé d'orthonormalisation de gram-schmidt) la décomposition dite de Cholesky

où est triangulaire inférieure (inversible) et comme on a par hypothèse

on voit que et on conclut par le même argument que perroquet



remarque : L'exercice est en fait une équivalence _{sauf erreur bien entendu}

lyonnais comment justifie-tu l'existence de A dans ta première égalité?

Si S est symétrique définie positive, par le théorème Spectral, il existe une base orthonormale formée de vecteurs propres de S.

Ainsi, on a :

S = P.diag(1,...,n).P^-1 où chaque i est > 0

Si tu poses :

A = P.diag(1,...,n).P^-1

A² = (P.diag(1,...,n).P^-1).(P.diag(1,...,n).P^-1) = P.diag(1,...,n).P^-1 = S

ok ?

Voilà mon calcul: la question est: y a-t-il une erreur ?

^tM = SMS^{-1 t}M^tS = SM SM est symétrique. Donc M s'écrit S^-1S' où S' est symétrique. D'ou M est symétrique donc diagonalisable.

ok lyonnais merci!

Bonsoir à tous,

amauryxiv2:
Le produit de deux matrices symétriques n'est pas une matrice symétrique en général.

elhor:
Bien vu pour l'équivalence, la réciproque étant d'ailleurs plus facile:
si alors si on pose qui est bien symétrique définie positive.

Pour le sens direct on peut se contenter d'écrire avec Q inversible (car S est la matrice d'un produit scalaire).