PS: et ce qu'il en est de la généralisation à une matrie carrée de taille quelconque ?

Salut Stokastik (je ne fais que passer, je reviendrai dans l'après-midi pour les éventuelles réponses)

Cette matrice est une matrice circulante donc on peut déterminer facilement ses valeurs propres.
Si on note P le polynôme dont les coefficients sont les éléments de la première ligne (c'est-à-dire ), alors ses valeurs propres sont les avec racine n-ième de l'unité.
Par un calcul simple, on trouve 2 valeurs propres : 1+(n-1)a et 1-a

Si on veut être moins bourrin : on peut remarquer que 1-a est valeur propre d'ordre (n-1) (car A-(1-a)I est une matrice de rang 1 (sauf si a=0 auquel cas c'est l'identité). L'autre valeur propre se trouve en utilisant la trace.

Finalement, la matrice sera définie positive si et seulement si ces deux valeurs sont strictement positives ,c'est-à-dire si et seulement si a appartient à .

Kaiser

Ok nickel merci Kaiser

Mais je t'en prie !

Re kaiser,

J'ai remarqué un truc. En fait pour la 3x3 on voit directement trois valeurs propres orthogonales (elles ne dépendent pas de a) :

(1,1,1) ; (2,-1,-1) ; (0,1,-1)

Salut,
une matrice est définie positive si et seulement si les déterminants principaux sont tous positifs non ?5critère de Sylvester)

Ici on regarde quand le déterminant est positif et quand 1-a^2 l'est.

Salut otto,

C'est quoi les déterminants principaux ? Les déterminants des matrices extraites (n-1)*(n-1) ?

Les déterminants des matrices de taille i<n qui commencent en haut à gauche.

Ici on a donc 3 matrices

1

(1 a)
(a 1)

et ta matrice de départ.

Ok merci, je n'avais jamais rencontré ce théorème.