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Matrice symétrique définie positive

Posté par
masterrr 24-01-10 à 13:10

Bonjour,

J'ai un peu de mal à montrer le résultat suivant, merci d'avance pour votre aide.

On note 5$ S_n^{++} l'ensemble des matrices symétriques telles que pour toute matrice colonne non nulle, 5$ ^tXAX>0.

1. Soit A une matrice symétrique. Montrer que A appartient à 5$ S_n^{++} si, et seulement si, toutes les valeurs propres de A sont strictement positives.

Soit A symétrique.
Soit une valeur propre de A.
Il existe alors une matrice colonne non nulle telle que 5$ AX=\lambdaX.
On a alors 5$ ^tXAX=\lambda||X||^2>0. Or 5$ ||X||^2>0 donc 5$ \lambda>0.

Par contre je bloque pour démontrer la réciproque...

Posté par
gui_toure : Matrice symétrique définie positive 24-01-10 à 14:01

Salut Masterr,

J'imagine que A est une matrice réelle ?

Supposons donc : A est une matrice symétrique réelle (!!tilt!! : diagonalisable) avec des valeurs propres strictement positives.

D'après le théorème spectral : il existe 3$ P\in\mathcal{O}_n(\mathbb{R}) telle que 3$A=PD^tP où 3$D=\rm{diag}(\lambda_1,...,\lambda_n), valeurs propres strictement positives de A (pas forcément distinctes).

On peut donc écrire 3$\Delta^2=D avec 3$D=\rm{diag}(\sqrt{\lambda_1},...,\sqrt{\lambda_n}). Donc 3$A=(P\Delta)(\Delta ^tP). Je pose 3$Q=\Delta ^tP, donc 3$A=\ ^tQQ

Il ne te reste plus qu'à vérifier que 3$A=\ ^tQQ est bien symétrique définie positive.

Posté par
masterrrre : Matrice symétrique définie positive 24-01-10 à 14:19

Salut gui_tou et merci,

En effet, A est une matrice réelle (donc orthogonalement semblable à une matrice diagonale puisque symétrique réelle).

Par contre, on me demande deux questions plus loin de montrer qu'il existe une matrice inversible telle que 5$ A=^tPP donc ça va faire un peu redondant non ? À moins qu'il y ait un moyen plus simple que celui que tu as proposé pour montrer qu'une matrice symétrique dont les valeurs propres sont strictement positives est symétrique définie positive.

Dernière chose, pour finir ta démonstration : A est bien symétrique puisque 5$ ^tA=A mais comment montrer qu'elle est effectivement définie positive ?

Merci !

Posté par
gui_toure : Matrice symétrique définie positive 24-01-10 à 14:38

Ah alors oui, il faut une autre méthode.

Citation :
Dernière chose, pour finir ta démonstration : A est bien symétrique puisque 3$ ^tA=A mais comment montrer qu'elle est effectivement définie positive ?


3$A=\ ^tQQ ; soit X un vecteur non nul de IRn

3$^tXAX=\ ^tX\ ^tQQX=\ ^t(QX)(QX)=||QX||^2>0  (QX est non nul car Q est inversible)


Pour l'autre méthode, peut-être faut-il écrire une base B de IRn formée de vecteurs propres de A, et décomposer un vecteur X sur cette base.

Posté par
masterrrre : Matrice symétrique définie positive 24-01-10 à 15:30

Finalement j'ai fait cette méthode et je renverrai à cette question pour la question 3.

Je m'embrouille un peu les pinceaux en voulant répondre à la question suivante :

2. Soit (e_1,e_2,...,e_n) une base quelconque de E. Soit G la matrice carrée d'ordre n dont les coefficients sont données par (e_i,e_j).

(a) Si X désigne la matrice colonne de coefficients x_i, vérifier que 5$ ^tXGX=||\Bigsum_{i=1}^{n} x_i e_i||^2.

Posté par
masterrrre : Matrice symétrique définie positive 24-01-10 à 15:51

C'est bon, je suis venu à bout de ce calcul


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