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Matrice triangulaire
Bonsoir 
Voici l'exercice :
Soit A telle que
soit triangulaire supérieure de diagonale 1,2,..,n.
Montrer que A est triangulaire supérieure.
Voici maintenant ma solution, est elle correcte ? Merci.
On note u l'endomorphisme associé à A.
est trigonalisable et possède n valeurs propres distinctes 1,2,..,n donc elle est diagonalisable dans une base B =(e1,...,en).
Soit k entre 1 et n.
u(ek)=
. On compose une nouvelle fois par u :
k*u(ek)= =
. Donc comme B est une base
si i
k.
Donc A est diagonale dans la base B.
i dépendent de k ce qui n'apparait pas dans ton écriture.
Je ne pense pas que le fait que les dépendent de
pose un problème, vu que est fixé dans sa démonstration. Par contre tu as prouvé que A était digonalisable, mais pas qu'elle est triangulaire. Pour cela il faut démontré que dans la base "canonique" u(Vect(e1,...,ek)) est inclus dans Vect(e1,..ek).
Pour toute matrice X je désignerai par X(p,q) ce que je mets au croisement de la p-ème ligne et la q-ème colonne.
Soient donc n un entier > 0 , A 
Mn(
) et u L(n) dont la matrice dans la base canonique can = (e1,....,en) est A . On suppose que A2 est TS ( càd que A2(j,k) = 0 si j > k ) et que A2(j,j) = j pour tout j {1,...,n}.
1.On a : u (e1) = A(1,1)e1 + ....+ A(k,1)ek +...+ A(n,1)en donc e1 = u2(e1) = A(1,1)u(e1) + ....+ A(k,1)u(ek) +...+ A(n,1)u(en) et
u (e1) = A(1,1)e1 + ....+ kA(k,1)ek +...+ nA(n,1)en donc 0 = A(2,1)e2 + ....+ (k-1)A(k,1)ek +...+(n-1) A(n,1)en donc A(2,1) = ....= A(k,1) = .... = A(n,1) = 0.
On remarque que u(e1) = e1 ou u(e1) = -e1
Je pense qu'en continuant ainsi on peut s'en sortir.
A tout à l'heure (peut-être !)
Je viens de relire ton premier message . Je l'avais lu en diagonale
Ta preuve est bonne.
On peut généraliser :
Soient K un corps commuratif , n un entier > 0 , B Mn(K) telle que B(j,k) = 0 si j > k et telle que j 
B(j,j) soit injective
On recherche S(B) = { A Mn(K) | A2 = B }
On a alors : Si S(B) 
et si A S(B)alors A est diagonale B aussi et pourtout k {1,...,n} A(k,k)2 = B(j,j) .
On voit donc que si B est TS mais pas diagonale S(B) est vide .
Il l'est aussi si les B(j,j) ne son pas tous des carrés dans K.
...
Bonsoir, sauf erreur de ma part, B n'est pas forcement diagonal pour admettre une racine carrée :
Prenons B=
| 1 | 3a |
| 0 | 2 |
Alors B=A2 avec
A=
| 1 | a |
| 0 | 2 |
pour n'importe quel
Ainsi le résultat que tu dois prouver n'est pas contredit par cet exemple. Par contre tu ne l'a pas prouvé. Tu as prouvé que la matrice B=A2 est digonalisable, et que A l'est aussi. Une première méthode est celle proposé par kybjm dans son premier post (montré que les A(i,j)=0 si i>j), l'autre est celle plus géométrique que je t'ai conseillé (montrer que l'application
Rq1. Pour smart91
Le carré A2 de ta matrice A est : ligne 1 : 1 3a et ligne 2 : 0 4 . Ce n'est pas ta matrice B
Rq2. J'ai fait une erreur dans ma démonstration :
Sous les hypothèses faites sur A on peut trouver une base (a1,....,an) de n telle que u(ak) = k.ak pour tout k.
La suite reste vraie en y remplaçant chaque ek par ak pour 1 
k n.
Rq3Ce que j'ai fait avec e1 (pardon a1) peut se faire avec chaque aj mais c'est ce qu'a fait Nilot (avec des notations que je ne trouvais pas bonnes)
Rq4. Ce qu'on vient de voir prouve que si une matrice B est TS avec des éléments diagonaux distincts et admet au moins une racine carrée alors elle est diagonale.
Bonsoir,
pour RQ4 : non, si tu prends
alors B=A2 avec
Désolé pour mon erreur, mais cet exemple montre en tous cas que tu ne peux pas esperer montrer que si B est un carré et a des vp distinctes alors B est diagonale!!! Il n'a montré que :
B= P D P-1
et A= P D2 P-1
avec P une matrice de changement de base, et D et D2 des matrices diagonales...
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