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matrices
Bonsoir , j'ai un exercice avec 3 petites questions sur une matrice :
On considère la matrice M =
0 0 -1
1 0 0
0 1 0
a) calculer le polynome caractéristique de M .
J'ai fait Pm(X) = det(XIn - M) et je trouve comme polynome x³ - 1 .
b) La matrice M est elle diagolanisable sur R? sur C? si oui indiquer une matrice semble diagonale ( pas de calcul des espaces propres ) .
Alors pas définition , toute matrice diagonale carrée est diagonalisable , et donc je dois avoir :
P^-1 * D * P = M , avec P la matrice identité et D une matrice diagonale .
Donc je devrais avoir au final D = M . Et après je sais pas quoi faire , quelqu'un aurait il une explication ? ( là on bosse sur R en 1er lieu et ensuite sur C )
merci de votre soutien .
Bonjour
a) Je trouve x^3+1 comme polynôme caractéristique...
b) Le polynôme caractéristique n'est pas scindé sur R donc la matrice n'est pas diagonalisable dans Mn(R).
Sur C, Pm(X) est scindé à racines simple donc M est diagonalisable dans Mn(C).
Elle est semblable à la matrice diagonale Diag(1,j,j²)
merci night , que veux tu dire par "scinder" ? et en fait pourquoi la matrice M serait semblable à celle ci :
1 0 0
0 X 0
0 0 X²
merci
autrement dit il est scindé si il a une racine , mais le polynome que tu as trouvé a une racine réelle , -1 , donc pq ne serait il pas scindé sur R?
et en fait je ne vois pas pq cette matrice est semblable à celle ci :
1 0 0
0 X 0
0 0 X²
Et pour la seconde question, si M est diagonalisable alors elle est semblable à une matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont les valeurs propres de M (écrites autant de fois que leur ordre de multiplicité)
Par contre effectivement je me suis trompé (j'ai pris ton polynôme caractéristique et non le mien).
autrement dit il est scindé si il a une racine , mais le polynome que tu as trouvé a une racine réelle , -1 , donc pq ne serait il pas scindé sur R?
Non! Un polynôme peut avoir une racine sans être scindé, exemple : x^3+1
Il s'écrit sous la forme
Et x²-x+1 est irréductible sur R (ie ne se met pas sous la forme (x-a)(x-b)) donc le polynôme n'est pas scindé sur R.
Bonjour
Elle est semblable à la matrice diagonale Diag(1,j,j²)
Si le polynôme caractéristique est X3+1 , ce ne sont pas ces valeurs propres.
Sauf erreur.
en fait un polynome est scindé si il est décomposable en polynomes de degré 1 si j'ai bien compris ...
ok pour la seconde question .
donc dernière question :
déterminer M³ = M.M.M
ma foie je fouille peut etre pas assez mais c'est juste un bête calcul , je trouve en multipliant classiquement :
-1 0 0
0 -1 0
0 0 -1
Oui jeanseb, c'est pour cela que j'ai dit plus haut :
Par contre effectivement je me suis trompé (j'ai pris ton polynôme caractéristique et non le mien).
Mais tu sembles aimer critiquer mes posts
severinette>
Effectivement M^3 est semblable à la matrice que tu as donnée, mais ça ne donne pas la valeur de M^3 !
non nightmare je ne critique pas du tout tes posts voyons puisque tu m'aides lol , mais je pose juste des questions pour que ça soit plus clair , donc pour la dernière question je me suis trompée ?
pour la seconde tu confirmes que la matrice semblable à M c'est :
1 0 0
0 x 0
0 0 x²
désolée les messages sont assez mélangés donc je m'y perds lol
Severinette > Je m'adressais à jeanseb lorsque je parlais de critique.
Ensuite je ne comprends pas pourquoi tu parles de la matrice diag(1,x,x²) depuis tout à l'heure, qu'est-ce que x déjà? Ca n'a aucun sens...
Pour la 3éme fois, M est semblable à la matrice où
et
sont les racines complexes de x²-x+1
je remplaçais juste tes i et j par des x , excuse moi , j'ai compris maintenant .
pour la 3eme question j'ai bon donc ?
Il s'agirait de lire ce que j'écris
Effectivement M^3 est semblable à la matrice que tu as donnée, mais ça ne donne pas la valeur de M^3 !
> Jord
Par contre effectivement je me suis trompé (j'ai pris ton polynôme caractéristique et non le mien).
Excuse-moi, je ne l'avais pas lu. Au temps pour moi.
Mais tu sembles aimer critiquer mes posts
Pas exactement. Mais d'une part, il n'y a guère que toi qui bosses sur le forum aujourd'hui (et donc si on a envie de taquiner, il n'y a pas beaucoup de cibles possibles), et d'autre part (pour l'autre topic), j'ai commencé par te féliciter, avant de pinailler. On a quand même le droit d'avoir le sens esthétique, non?
Bon, ceci dit, si je t'ai froissé, je te présente mes excuses.
jeanseb > Il n'y a pas de problème, je sais bien que ce n'est pas ton genre et je ne me suis pas senti attaqué.
je lis mais je trouve ça ambigue , je ne sais plus si j'ai bien répondu à la question ou pas...
PS : je suis d'accord que le polynome caractéristique soit x³+1 mais j'ai refait 3 fois le calcul avec la formule et je trouve x³ - 1 
X(XX) + 0(00) - 1(11) - X(01) - 0(1X) + 1(X0)
Je ne comprends pas ton calcul mais quoi qu'il en soit il est faux
Dans le polynôme caractéristique, le coefficient de degré n est et le coefficient constant est -Det(M)
Ici det(M)=-1 donc le coefficient constant est bien +1 !
j'ai juste appliqué la formule de wikipédia pour les matrices 3*3 , enfin bon c'est toi l'expert !
en tout cas merci bcp pour ton soutien .
Calculons ce déterminant:
Avec la règle de Sarrus pour les matrices 3-3:
les 3 produits "positifs" sont: (-X)(-X)(-X) + 1.1.(-1) + 0.0.0 =-X3 -1
les 3 produits "négatifs" sont tous avec un 0 dedans.
Donc le polynôme caractéristique est bien -X3 -1 = -(X3 + 1), qui a les mêmes racines que (X3 + 1).
Convaincue?
Sauf erreur, bien entendu..
convaincue de ton calcul oui jeanseb mais tu as pris -X , moi j'ai pris X , car la formule c'est (X - a)(X - b)...
Avec la règle de Sarrus pour les matrices 3-3
Tout de suite les grands mots hein?
Je plaisante, sure.
severinette >
En fait dans certains ouvrages, le polynôme caractéristique est Det(M-X.In) et dans d'autre c'est Det(X.In-M)
Au final c'est la même chose au facteur (-1)n près.
oui mais le calcul que j'ai fait c'est l'application pure et dure de l'une des 2 formules et je trouve pas pareil que vous c'est un fait 
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