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matrices
Bonsoir , j'ai l'exercice suivant : soient 3 vecteurs e1,e2,e3 formant une base R³ . on note T l'application linéaire définie par T(e1) = T(e3) = e3 , T(e1) = -e1+e2+e3 .
a) Ecrire la matrice de l'application T dans la base e1,e2,e3 .
0 -1 0
0 1 0
1 1 1
b) Déterminer la dimension de l'image et du noyau de cette application linéaire .
L'image a pour dimension 2 vu que le rang de l'application est 2 et le noyau 1 .
c) On pose f1 = e1 - e3 , f2 = e1 - e2 , f3 = -e1 + e2 + e3 . Montrer que (f1,f2,f3) constitue une base de R³ .
La famille est génératrice étant donné qu'il y a 3 vecteurs de dimension 3 . Et vu que le système
x+y-z = 0
-y+z = 0
-x+z = 0
admet seulement 0 comme solution , les vecteurs sont libres , c'est bien une base de R³ .
d)exprimer e1,e2,e3 en fonction de f1,f2,f3 .
e1 = f1+f2+f3 , e2 = f1+f3 , e3 = f2+f3 .
Jusqu'ici vous etes d'accord ?
merci
Re
D'accord avec tout, sauf avec ta question b):
ce n'est pas parce qu'il y a 3 vecteurs qu'ils constituent une famille génératrice.
En revanche, leur liberté (que tu as bien prouvée) et le fait qu'il y en ait 3=dim(E) suffit à prouver que c'est une base.
Tu utilises tout le temps ce mot mais il ne veut rien dire pour des vecteurs, il s'applique à des espaces.
Oui, dim(E)=3, c'est pour ça que 3 vecteurs libres en forment toujours une base.
mais c'est toi une fois qui m'a dit qu'il fallait que les vecteurs soient de dimension 3 , donc 3 coordonnées x y z , car des vecteurs de dimension 2 ne peuvent générer un espace de 3 dimensions...
Je ne pense pas que j'aie dit ça.Si je l'ai fait, je n'aurais pas dû, ce n'est pas l'expression correcte.
Tu veux dire si on veut prouver directement qu'une famille est génératrice, sans passer par le genre de théorèmes que je viens d'utiliser?
oui , parce que pour moi en tout logique pour générer l'espace (x,y,z) il faut 3 vecteurs de dimension 3 ( et non colinéaires ) , c'est tellement évident...
si je me trompe alors là je me tire une balle...
Je suis d"accord qu'il en faut 3, mais par contre trois vecteurs donnés d'un espace de dimension 3 ne l'engendrent pas forcément, même s'ils sont deux à deux non colinéaires.
Pense par exemple aux trois vecteurs (1,0,0) , (0,1,0) et (1,1,0) .
Il y en a 3, mais ils vivent tous dans le plan usuel, donc ils ne peuvent pas engendrer tout l'espace!
Et pourtant ils sont bien 2 à 2 non colinéaires! Par contre, ils sont coplanaires (dans un même plan).
On voit bien dans ce cas précis que ce qui leur manque, c'est la liberté.
D'ailleurs j'aurais dû dire qu'il en faut au moins 3, toute famille génératrice à laquelle on adjoint des vecteurs reste génératrice!
oui il faut qu'ils soient 3 , de dimension 3 , donc comme je disais mais aussi qu'ils ne soient pas dans le meme plan .
Il reste 2 petites questions :
calculer la matrice de passage P de la base (e1,e2,e3) , vers la base (f1,f2,f3) .
Là je ne souhaite pas la réponse bien bien comprendre ce qui est demandé , en fait j'ai la matrice canonique , je dois la multiplier par la matrice P pour obtenir la matrice (f1,f2,f3) c'est celà ?
la réponse est :
1 1 -1
0 -1 1
-1 0 1
je veux juste calculer la matrice inverse mais si je pars de cette écriture :
P*C = I , P etant la matrice que j'ai donné , C la matrice qui multipliée à P donne I , comme on réécrit cette égalité pour obtenir la multiplication par un vecteur (x,y,z) et avoir comme second membre (a,b,c) , je ne me souviens jamais...
En fait ici c'est beaucoup plus simple, il suffit de dire que son inverse est la matrice de la famille (f1,f2,f3) dans (e1,e2,e3), et ça c'est du pipeau!
Sinon, plus généralement, il suffirait de résoudre le même système que celui que tu as marqué dans l'énoncé, mais avec a,b et c en face au lieu de 0,0 et 0.
Une fois qu'on aurait x,y, et z en fonction de a,b,c, la matrice des coefficients de (a,b,c) serait la matrice inverse cherchée.
oui mais tig toi tu déduis tout ça car tu connais le truc super bien , mais moi j'en suis encore à reprendre tous les calculs donc à partir de ceci :
P*C = I , comment obtenir le système à résoudre , c'est un truc tt con faut multiplier par une matrice ^-1 mais je sais plus comment...
Je te l'ai dit, réécris le système :
x+y-z = a
-y+z = b
-x+z = c
Puis exprime x , y , z en fonction de a,b,c.
tig lol , ce que je cherche c'est à partir de ça : P*C = I , comment arriver à ton système , car le système à résoudre je sais lequel est , mais je veux connaitre les étapes de développement à partir de la définition :
Une matrice P est inversible si il existe une matrice C telle que P*C = I .
Alors à partir de ça comment arrives tu à ton système...
OK, dans ce cas c'est plutôt bourrin, on ne fait quasiment jamais comme ça!
Tu écris la matrice de C a priori avec 9 coefficients (!!), tu calcules le produit de P par C en fonction de ces coefficients, puis tu dis que le résultat fait la matrice identité, ce qui donne un système de 9 équations à 9 inconnues!
Oublie...
"OK, dans ce cas c'est plutôt bourrin, on ne fait quasiment jamais comme ça!"
je te crois mais ya une autre méthode très simple qui consiste à multiplier par une matrice ^-1 mais laquelle , je l'ai vu 1000 fois dans des cours de 1ere année...tu n'en as pas souvenir à tout hasard ?
J'ai fouillé et j'ai trouvé ce que je souhaite :
Une matrice A est inversible si il existe une matrice B telle que AB = I .
Et on sait que : Le systeme lineaire n×n, Ax = b admet une solution
et une seule pour tout b si et seulement si A est inversible. Dans ce cas, on
a x = A^−1b.
Moi je cherchais à partir de ça : AB = I , comment arriver à ça : a x = A^−1b et j'ai trouvé nulle part .
pour la résolution du système j'obtiens :
x = a+b
y = c
z = b+c
Donc la matrice inverse est :
1 1 0
0 0 1
0 1 1
Et on sait que : Le systeme lineaire n×n, Ax = b admet une solution
et une seule pour tout b si et seulement si A est inversible. Dans ce cas, on
a x = A^−1b.
Oui, et c'est EXACTEMENT ce qu'on utilise pour justifier mon message de 21h55 qui te faisait rire!!
C'est cette méthode qui conduit à la résolution du système que tu viens de résoudre...en te trompant!
On a :
x=a+b
y=a+c
z=a+b+c
et bien je vais essayer de me faire un résumé et des exercices personnels qui englobe un peu tout le programme de 1ere année , avec des affirmations que je pense juste , je vais commencer maintenant et je te montre ça , tu jugeras si j'ai tt compris .
Une petite question néanmoins : quand tu as ce système :
2x + y - z = 0
x + 3y + 2z = 0
3x - y - z = 0
tu vois on a bien 3 vecteurs qui sont : (2,1,-1) , (1,3,-1) , (-1,2,-1) .
Mais d'un autre coté on a 3 équations de plans , et si je prends l'équation de ce plan par exemple :
2x+y+z = 0 , en fait ce plan contient les coordonnées x des 3 vecteurs t'es d'accord ? c'est à dire 2,1,-1 ?
non le vecteur 2,1,-1 est normal au plan , mais en fait ya aucun rapport géométrique entre les vecteurs colonnes et les équations de plan c'est ça que je demande...
Pour ton message de 22h33, je n'ai rien compris à ce que tu faisais, ni à ce que tu demandais lol!!
De plus tes vecteurs ne correspondent pas à tes équations!
Pour ta dernière question, non il n'y a aucun rapport puisqu'ils s'obtiennent en considérant les 3 plans ensemble.
ok , et hier j'ai regardé une interview vraiment passionnante d'un mathématicien français qui a bcp travaillé sur ce qu'il appelle la géométrie non commutative , c'etait très intéressant et à tout hasard saurais tu en quelle année on commence à étudier cela ? car j'ai jamais vu un truc aussi intéressant en maths de mon point de vue ...
Lol je connais juste de nom...Mais tu sais, il y a plein de domaines des maths qu'on n'étudie JAMAIS, sauf à trouver un séminaire où le spécialiste vient s'exprimer!
Ou dans les bouquins...Mais en l'occurence je ne connais même pas le niveau requis pour suivre un exposé dans ce domaine.
Tu as un lien pour cette interview?Ca peut m'intéresser!
oui c'est très vulgarisé et c'est par petits morceaux de 5 minutes , et très complet et intéressant , le mec a l'air très très fort il a la médaille fields ...bref un perelman français tu le connais surement , tu me donneras ton avis mais moi j'ai adoré meme si j'ai évidemment pas tout compris faute de niveau :
http://www.arte.tv/fr/connaissance-decouverte/science/1350636.html
Salut Guigui! 
Ah,notre ami Alain Connes, j'aurais dû m'en douter!
D'ailleurs c'est vrai, j'avais déjà entendu qu'il travaillait sur ça!
Je vais me mater ça tranquillou tout-à l'heure.
voui c'est le même homme, Alain Connes, médaille Fields et professeur au Collège de France (un big boss)
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