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Matrices

Posté par
gui_tou 20-08-08 à 11:27

Bonjour

Je voudrais votre avis à propose de ma réponse ..

Citation :
Rang de 3$\rm A=\(\array{1&0&a\\0&2&0\\0&0&a\). Est-elle inversible ? Diagonalisable ?


(je suppose 3$\rm a\in\bb C)

Les deux premières questions sont simples :

¤ 3$\rm\red\fbox{\fbox{ rg(A)=3\ \Leftright\ a\not=0
3$\rm\red\fbox{\fbox{ rg(A)=2\ \Leftright\ a=0

¤ 3$\rm\red\fbox{\fbox{A inversible \Leftright\ a\not=0

¤ A est-elle diagonalisable ?

3$\rm\chi_A(X)=\det(A-XI_3)=\left| \\ \begin{array}{ccc} \\ 1-X & 0 & a\\ \\ 0 & 2-X & 0\\ \\ 0 & 0 & a-X \\ \end{array} \\ \right|=(1-X)(2-X)(a-X)

Déjà, on peut dire que 3$\rm a\not\in\{1,2\}\ \Right A diagonalisable puisque A annule un polynôme non nul scindé à racines simples.

Pour savoir si 3$\rm a peut valoir 1 ou 2, je cherche 3$\rm\dim\ Ker(A-aI_3) pour 3$\rm a\in\{1,2\}

3$\rm\fbox{Cas a=1 Soit 3$X{\|x\\y\\z}\in\mathbb{R}^3. On résout 3$\rm(A-I_3)X=0 :

3$\rm(A-I_3)X=0 \\ \(\array{0&0&1\\0&1&0\\0&0&0}\)\(x\\y\\z\)=0 \\ \{x=x\\y=0\\z=0

d'où 3$\blue\fbox{\rm\dim\ Ker(A-I_3)=1 et donc A n'est pas diagonalisable.


3$\rm\fbox{Cas a=2 Soit 3$X{\|x\\y\\z}\in\mathbb{R}^3. On résout 3$\rm(A-I_3)X=0 :

3$\rm(A-2.I_3)X=0 \\ \(\array{-1&0&2\\0&0&0\\0&0&0}\)\(x\\y\\z\)=0 \\ \{x=0y+2z\\y=1y+0z\\z=0y+1z

d'où 3$\blue\fbox{\rm\dim\ Ker(A-I_3)=2 et donc A est diagonalisable.

Finalement, 3$\rm\red\fbox{\fbox{A diagonalisable \Leftright\ a\not=1



---------------
---------------

Autre ptite question : si une matrice de 3$\mathcal{M}_n(\mathbb{C}) est diagonalisable et admet au moins une valeur propre double, on peut affirmer que son polynôme caractéristique est différent de son poly minimal, n'est-ce pas?

Merci pour votre aide

Posté par
Arkhnorre : Matrices 20-08-08 à 11:39

Bonjour gui_tou

C'est juste (joli latex )

Pour ta dernière question, la réponse est oui, car si la matrice est diagonalisable, ça veut dire que son polynôme minimal est scindé à racines simples, alors que son polynôme caractéristique a une racine multiple.

Posté par
gui_toure : Matrices 20-08-08 à 11:55

Salut Arkhnor !

Oki merci beaucoup

Posté par
Arkhnorre : Matrices 20-08-08 à 12:05

De rien

Une matrice sympa à étudier, si tu ne l'as pas déjà fait : \(\array{a&b&c\\c&a&b\\b&c&a\)

Posté par
gui_toure : Matrices 20-08-08 à 12:08

elle est diagonalisable si b=c et si les coeffs sont réels, car toute matrice réelle symétrique est diagonalisable !

Maintenant qu'appelles-tu étudier ?

Merci merci

Posté par
Arkhnorre : Matrices 20-08-08 à 12:10

Etudier si elle est diagonalisable.

Posté par
gui_toure : Matrices 20-08-08 à 12:25

Le poly caractéristique est très moche, c'est une mauvaise piste ?

Posté par
Arkhnorre : Matrices 20-08-08 à 12:31

Un peu
J'ai été un peu rude de pas te donner une indication

Ansatz : Chercher des vecteurs propres de la forme 3$ \(1\\\delta\\\delta^2\)

Posté par
1 Schumi 1re : Matrices 20-08-08 à 12:52

Citation :
Ansatz

Nain dix en allemand?

Posté par
Arkhnorre : Matrices 20-08-08 à 13:51

C'est bien de l'allemand



Posté par
gui_toure : Matrices 20-08-08 à 15:08

Salut Ayoub

Bon bon, l'est pas fastoche à étudier c'te matrice !

3$\rm\(\array{a&b&c\\c&a&b\\b&c&a}\)\(\array{1\\\delta\\\delta^2}\)=0

3$\rm\{a+b\delta+c\delta^2=0\\a\delta+b\delta^2+c=0\\a\delta^2+b+c\delta=0

Là je suis un peu perdu, donc je me suis amusé à calculer le déterminant de 3$\rm\left| \\ \begin{array}{ccc} \\ 1 & \delta & \delta^2\\ \\ \delta & \delta^2 & 1\\ \\ \delta^2 & 1 & \delta \\ \end{array} \\ \right| qui vaut 3$\rm-(\delta-1)^2(\delta^2+\delta+1)^2

Je sombre ...

Posté par
Arkhnorre : Matrices 20-08-08 à 15:20

Tu n'appliques pas la définition d'un vecteur propre, la tu recherches les vecteurs du noyau.

Posté par
gui_toure : Matrices 20-08-08 à 15:42

quelle nouille

Un vecteur propre 3$x est un vecteur non nul associé à une valeur propre 3$\lambda, il vérifie 3$f(x)=\lambda x

3$\rm\(\array{a&b&c\\c&a&b\\b&c&a}\)\(\array{1\\\delta\\\delta^2}\)=\lambda\(\array{1\\\delta\\\delta^2}\)

3$\rm\(\array{{a+b\delta+c\delta^2\\a\delta+b\delta^2+c\\a\delta^2+b+c\delta}\)=\lambda\(\array{1\\\delta\\\delta^2}\)

3$\rm\{a+b\delta+c\delta^2=\lambda\\a\delta+b\delta^2+c=\lambda\delta\\a\delta^2+b+c\delta=\lambda\delta^2

Ensuite ?

Posté par
Arkhnorre : Matrices 20-08-08 à 15:46

Essaye de bidouiller un peu le système, tu as une expression de \lambda, réinjecte la dans les autres équations.

Posté par
veledare : Matrices 20-08-08 à 20:25

>> guitou
il est bon de savoir qu'une telle matrice admet a+b+c comme valeur propre ,c'est un zéro évident du polynôme caractéristique si tu t'y prends bien pour développer det(A-I)

Posté par
gui_toure : Matrices 20-08-08 à 20:59

Oki je regarderai ça demain Merci pour votre aide!

Petit a parte :

Citation :
Montrer que la fonction 3$\exp(-t^2) est intégrable sur 3$[0,+\infty[


On pose : 3$\forall x\in\mathbb{R}^+\ ,\ F(x)=\Bigint_0^x\exp(-t^2)dt

F est décroissante sur 3$\mathbb{R}^+

De plus, 3$\forall x\in\mathbb{R}^+\ ,\ \exp(x)\ge1+x  donne   3$\forall x\in\mathbb{R}^+\ ,\ \exp(-t^2)\le{4$\fr{1}{1+t^2

Donc 3$\forall x\ge0\ ,\ F(x)\le\Bigint_0^x{4$\fr{1}{1+t^2}}=\rm{Arctan} x

donc F est majorée sur 3$\mathbb{R}^+ par 4$\fr{\pi}{2

¤ Croissante et majorée sur 3$\mathbb{R}^+, F admet donc une limite finie en 3$+\infty

De plus, 3$\forall x\in\mathbb{R}^+\ ,\ F(x)=\Bigint_0^x\exp(-t^2)dt=\Bigint_0^x\|\exp(-t^2)\|dt

L'intégrale 3$\Bigint_0^{+\infty}\exp(-t^2)dt étant absolument convergente, la fonction 3$\exp(-t^2) est intégrable sur 3$\mathbb{R}^+

Correct ? Y a-t-il plus simple ?

Merci

Posté par
gui_toure : Matrices 20-08-08 à 21:02

A quelques fautes de frappe près, genre 3$\forall \fbox{t}\in\mathbb{R}^+   ou    3$\forall x\ge0\ ,\ F(x)\le\Bigint_0^x{4$\fr{\fbox{dt}}{1+t^2}}=\rm{Arctan} x

Posté par
lafol Moderateurre : Matrices 20-08-08 à 21:46

Bonjour
pour le système ci dessus, j'essaierais bien des trucs genre ligne 2 moins delta fois ligne 1 ....

Posté par
veledare : Matrices 20-08-08 à 22:37

tu peux utiliser que pour t>1e^{-t^2}<e^{-t}

Posté par
gui_toure : Matrices 20-08-08 à 22:40

salut lafol et veleda


lafol > oki oki pour demain

veleda : j'y ai pensé, on aboutit à exp(-t²)<1/e, c'est ça ?

Posté par
veledare : Matrices 21-08-08 à 08:04

>>Guitou
pour t1 0<e^{-{t^2}}e^{-t}donc pour x1on a 0<\int_1^x e^{-{t^2}}dt\int_1^xe^{-t}dt

Posté par
veledare : Matrices 21-08-08 à 09:48

>>re :pour résoudre ton système il me semble qu'en ajoutant les trois équations membre à membre c'est simple

Posté par
gui_toure : Matrices 23-08-08 à 16:07

J'arrive à 3$c(1-\delta)(1+\delta+\delta^2)\ =\ 0   et   3$a(1+\delta+\delta^2)\ +\ b(1+\delta+\delta^2)\ +\ c(1+\delta+\delta^2)\ =\ \lambda(1+\delta+\delta^2)

Si on était dans IR, on aurait 3$a+b+c=\lambda .. je ne suis pas trop avancé

Posté par
gui_toure : Matrices 23-08-08 à 16:09

veleda > pour ton message de 08:04, je suis d'accord mais ça montre juste que 3$\Bigint_1^x\exp(-t^2)dt est borné, faut aussi dire qu'elle est croissante, me trompé-je ?

merci

Posté par
Arkhnorre : Matrices 23-08-08 à 17:54

gui_tou > Essaye de réinjecter l'expression de lambda, qui est donnée dans la première équation, dans les deux autres. Ca devrait bien se simplifier.

Posté par
veledare : Matrices 23-08-08 à 18:18

>>guitou
réponse à ta question de16h09 : oui
pour ton post de 16h07
ou bien 1++²0=>=a+b+c
ou bien1++²=0=>=j ou j²donc d'aprés la première équation
=a+bj+cj² ou=a+bj²+cj


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