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Matrices

Posté par
MATT25 22-11-08 à 21:35

Bonjour,
Je suis en prépa HEC et j'ai besoin d'aide pour cet exercice :
voici l'énoncé et les pistes que j'ai:

On note M[sub]3/sub]() l'ensemble des matrices carrées réelles d'ordre 3 et on considère les matrices suivantes de M[sub]3/sub]():

I= 1 0 0            et A= 1 1 1
   0 1 0                  1 0 0
   0 0 1                  1 0 0


Montrer que la famille (A, A[sup]2/sup]) est libre dans M[sub]2/sub]().

Alors j'ai commencé à poser:


= 1 1 1       et = 3 1 1
                  1 0 0                           1 1 1
                  1 0 0                           3 1 1

Ensuite je veux poser un système mais je sais pas exactement comment faire.

Merci d'avance pour votre aide

Cordialement,

Matt

Posté par
lafol Moderateurre : Matrices 22-11-08 à 21:40

Bonsoir

tu dois juste écrire \alpha A + \beta A^2 = [0]_3, ou [0]_3 désigne la matrice pleine de zéros, le traduire par 9 équations, et montrer que la seule solution de ce système est \alpha = \beta = 0

Posté par
MATT25re : Matrices 22-11-08 à 22:17

Je comprend pas  bien. Qu'est ce que c'est la matrice pleine de zéros? J'ai pas ça dans mon cours.

Pour la 1ere je trouve:

-3=0
+=0


Je suis bloqué pour le reste.

Posté par
lafol Moderateurre : Matrices 22-11-08 à 22:24

la matrice nulle, avec des zéros partout ...

\alpha%20A%20+%20\beta%20A^2%20=%20[0]_3 \Longleftrightarrow \alpha\[1\quad 1 \quad 1\\1\quad 0 \quad 0\\1\quad 0 \quad 0\]+\beta\[3\quad 1 \quad 1\\1\quad 1 \quad 1\\1\quad 1 \quad 1\]=\[0\quad 0 \quad 0\\0\quad 0 \quad 0\\0\quad 0 \quad 0\]\Longleftrightarrow \{\alpha + 3\beta=0\\ \alpha + \beta =0\\ \beta =0\.

(les deux dernières équations apparaissant 4 fois chacune)

Posté par
MATT25re : Matrices 22-11-08 à 22:35

Comment tu as fait pour trouver le chiffre avant et dans la 1ere ligne?

Posté par
lafol Moderateurre : Matrices 22-11-08 à 23:57

\alpha\[1\quad 1 \quad 1\\1\quad 0 \quad 0\\1\quad 0%20\quad%200\]+\beta\[3\quad%201%20\quad%201\\1\quad%201%20\quad%201\\1\quad%201%20\quad%201\]=\[\alpha%20+%203\beta\quad%20 \alpha%20+%20\beta %20\quad%20 \alpha%20+%20\beta \\\alpha%20+%20\beta \quad\quad%20\beta%20\quad\quad\quad%20\beta\\\alpha%20+%20\beta \quad\quad%20\beta%20\quad\quad\quad%20\beta\]

Posté par
MATT25Récurrence 24-11-08 à 22:31

Bonjour,
Je suis en prépa Hec et j'ai besoin d'aide pour cet exercice:
Montrer, pour tout entier n superieur ou egal à 1: an+2=an+1+2an
J'ai essayé de commence en faisant an+0=An+1+2an par construction après je bloque.

Merci de votre aide

Cordialement,

Matt

*** message déplacé ***

Posté par
Nightmarere : Récurrence 24-11-08 à 22:32

Salut

il faudrait peut être nous dire ce qu'est an non?

*** message déplacé ***

Posté par
lafol Moderateurre : Récurrence 24-11-08 à 22:32

Bonsoir
tu as juste oublié de nous dire comment était défini a_n

*** message déplacé ***

Posté par
lafol Moderateurre : Récurrence 24-11-08 à 22:34

ça ne serait pas une suite de ton exo avec les matrices A et A² qui faisaient une famille libre ?

*** message déplacé ***

Posté par
MATT25re : Récurrence 24-11-08 à 22:35

Si lafol c'est la suite

*** message déplacé ***

Posté par
lafol Moderateurre : Récurrence 24-11-08 à 22:37

alors continue dans le même topic, en donnant les questions intermédiaires et tes résultats intermédiaires, ça aidera !

*** message déplacé ***

Posté par
MATT25re : Récurrence 24-11-08 à 22:39

an et bn sont des nombres réels.
Est ce que je dois calculer an et bn pour n=1 ou n=0?

*** message déplacé ***

Posté par
lafol Moderateurre : Récurrence 24-11-08 à 22:41

tu n'as toujours pas dit comment ils sont définis !

*** message déplacé ***

Posté par
MATT25re : Récurrence 24-11-08 à 22:44

an et bn sont définis par : An=anA+bnA2

*** message déplacé ***

Posté par
lafol Moderateurre : Récurrence 24-11-08 à 22:48

Aaaahhhh!

donc A^{n+1} = a_{n+1}A+b_{n+1}A^2 mais aussi A^{n+1} = AA^n=A(a_nA+b_nA^2)=a_nA^2+b_nA^3

et tu as surement déjà exprimé A^3 en fonction de A et A^2 ?

*** message déplacé ***

Posté par
MATT25re : Récurrence 24-11-08 à 22:52

A3=A2+2A.
Mais pourquoi ne pas utiliser une récurrence pour démontrer l'inéquation?

*** message déplacé ***

Posté par
MATT25re : Récurrence 24-11-08 à 23:05

Après il faut en déduire an et bn en fonction de n pour tout entier n superieur ou egal a 1;
Il faut poser un systeme?

*** message déplacé ***

Posté par
lafol Moderateurre : Récurrence 24-11-08 à 23:12

on en est donc à A^{n+1}=2b_nA+(a_n+b_n)A^2

tes deux suites vérifient donc \{a_{n+1}=2b_n\\b_{n+1}=a_n+b_n\.

donc a_{n+2}=2b_{n+1}=2(a_n+b_n)=2a_n+2b_n=2a_n+a_{n+1}

et dans ton exercice, il y avait peut-être bien une partie pour étudier les suites qui vérifient cette récurrence, non ?

*** message déplacé ***

Posté par
Coll Moderateurre : Matrices 25-11-08 à 07:35

Bonjour,

MATT25 >>

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q04 - Où dois-je poster une nouvelle question ?


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