Bonsoir, j'ai dans un DM un exercice sur les matrices.
Soit A= 0 1/2 1/2 et P= 1 1 1
1/2 0 1/2 1 -1 0
1/2 1/2 0 1 0 -1
On doit dans la première question montrer que P^-1AP est une matrice diagonale, pas de problème, mais la question deux demande d'en déduire pour tout n appartenant à N la matrice A^n par ses éléments.
Pour moi c'est A^n=P-1A^nP mais un problème se pose alors aux questions suivantes on pose u0, v0 et w0 trois nombres réels positifs ou nuls tels que u0+v0+w0=1.
On note X_0=(u0,v0,w0) et X_n=(u_n,v_n,w_n) la matrice colone définie par X_n+1=AX_n
On a montré que X_n=A^nX_0.
Il faut en déduire que pour tout n appartenant à N on a U_n = 1/3 + (U_0 - 1/3)(-1/2)^n
V_n = 1/3 + (V_0 - 1/3)(-1/2)^n
W_n = 1/3 + (W_0 - 1/3)(-1/2)^n
Je pars de X_n=A^nX_0 d'où U_n = A^n * U_0 = P^-1A^nP * U_0 ?
A partir de là je ne vois pas comment me servir de A^n en fait !
Si quelqu'un pouvait m'aider ce serait gentil !
Merci par avance !
Salut
Bon c'est assez illisible donc j'explique la démarche sans avoir lu ce que tu as fait.
Tu as prouvé que où D est diagonale.
Ceci s'écrit encore
D'où :
Il te suffit donc de calculer D^n, rien de difficile
Merci, mais ensuite je cherche à montrer les équations Un, Vnn et Wn n grâce à un système à trois équations sachant que Xn=AnX0, c'est ça ?
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