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Matrices
Bonjour !
J'ai une question qui me pose problème.
Soit
2 1 -2
1 0 0 = A
0 1 0
Montrer que pour tout n, il existe un unique triplet (an,bn,cn) 
3 tq An = anI + bnA + cnA²
J'ai déja montré que
A3 = 2A²+A-2I
Donc A est inversible et que A-1 = -1/2 A² +A +1/2 I
et là je bloque !
Merci d'avance
Re Laure 
Montrer que pour tout n, il existe un unique triplet (an,bn,cn) 3 tq An = anI + bnA + cnA²
Pourquoi pas une récurrence, qui marchera très bien avec la remarque A3 = 2A²+A-2I
Ca voudrait dire que les coef sont -2, 1, 2 ???
Pour n=3 oui, pour n différent de 3 y a peu de chances
On a pas utiliser l'inversibilité ?
Non l'inversibilité n'a pas grand chose à voir avec cette question. Ce n'est que mon avis celà dit
On peut aussi le faire très simplement:
Soit Rn le reste de la division euclidienne de X^n par P=X^3-2X²-X+2. Alors on a:
X^n=Qn*P+Rn.
Vu qu'on a une morphisme canonique d'algèbre entre R[X] et R[A], on a que:
A^n= 0+ Rn(A).
Ca pour l'existence, c'est fait. Pour l'unicité c'est pas bien compliqué non plus vu qu'on a le polynôme minimal de A.
Ah vlà l'algébriste 
Mais je pense que l'énoncé guide Laure vers une récurrence nan ?
Et le poly minimal jcrois que c'est hors programmme en sup ^^
Mais je pense que l'énoncé guide Laure vers une récurrence nan ? >> Je sais pas, p'tet. L'an dernier, ces comme ça que je résolvais ce genre de questions ceci dit.
Et le poly minimal jcrois que c'est hors programmme en sup >> Bon ben dans ce cas l'unicité, on le fait à la main, c'est pas bien compliqué...
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