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Matrices

Posté par
sami-dh 15-05-09 à 20:49

Salut à tous

j'ai quelques difficultés pour résoudre ces deux questions:

On considère la matrice J=\begin{pmatrix}0 & -q \\ 1 & 0 \end{pmatrix} où q est un nombre réel.
On pose \Large{E=\{ M\in M_2(\mathbb{R})/M\times J=J\times M \}}

1)démontrer que (E,+,\times) est un anneau unitaire:

Pour le démontrer j'ai démontré que (E,+) est un groupe commutatif,mais je ne sais pas trop comment démontrer que \times est associative et distributive par rapport à + dans E,je ne sais pas comment faire les calcules,car j'ai pas de formes explicite de M,et je ne sais pas si il faut démontrer que E est stable par rapport à \times dans M_2(R).

2)démontrer que J^2+qI=0 déja fait
déduire que si q\leq 0 alors (E,+,\times) n'est pas un anneau intègre.

Merci à vous

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Matrices 15-05-09 à 21:28

\fbox{2} Si \fbox{q\le0} on a \fbox{(J-\sqrt{-q}I)(J+\sqrt{-q}I)=0} sauf erreur bien entendu

Posté par
yoyodadare : Matrices 15-05-09 à 22:46

Bonsoir,

Tout d'abord, on a que (M_2(\mathbb{R}),+,.) est un anneau unitaire, d'unité I_2.
Il suffit donc de montrer que E est un sous-anneau de M_2(\mathbb{R}) , et que E contient l'unité I_2:

- E est un sous-groupe de  (M_2(\mathbb{R}),+):
Si M, N \in E, alors M.J = J.M, et  N.J = J.N
donc (M+N).J = M.J + N.J (par distributivité à droite du produit matriciel) = J.M + J.N = J.(M+N) (distributivité à gauche), donc M+N est dans E, et E est stable par +.
La matrice nulle 0 est dans E, car 0.J = 0 = J.0, donc (E,+) est bien un sous-groupe de (M_2(\mathbb{R}),+).

Je te laisse donc montrer que E est stable par . et qu'il contient l'unité I_2, et tu en déduiras que (E,+,.) est un sous-anneau unitaire de (M_2(\mathbb{R}),+, .).

Posté par
sami-dhre : Matrices 15-05-09 à 22:49

Salut

Merci pour vos réponses

Mais la notion de sous-anneau n'est pas dans notre programme (je suis en terminale) alors je cherche une autre méthode

Merci


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