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matrices

Posté par
deruedavid 27-05-09 à 23:30

Bonjour,

J'ai un pb dans un exo :

3$A = \begin{pmatrix}-7&-6\\12&10\end{pmatrix} et 3$P = \begin{pmatrix}3&2\\-4&-3\end{pmatrix}.

La première question est : Calculer D = P^{-1}AP.

Donc 3$D = \begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}

Ensuite on demande d'en déduire l'expression de A^n pour n * en fonction de n... et là je vois pas...

Pouvez-vous m'aider, merci.

Posté par
romure : matrices 27-05-09 à 23:41

Bonsoir,

tu as A=PDP^{-1},  alors A^n=(PDP^{-1})^n.
Essaies de voir ce que tu peux en faire.

Posté par
deruedavidre : matrices 28-05-09 à 14:03

Ok merci...

Donc A^n = P^nD^nP^{-n} et je trouve :

3$P^n = \begin{pmatrix}3&2\\-4&-3\end{pmatrix} pour n impair

3$P^n = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} pour n pair

3$D^n = \begin{pmatrix}1&0\\0&2^{n}\end{pmatrix} pour tout n < 0

Donc je trouve que:

3$A^n = \begin{pmatrix}9-2^{n+3}&6-2^{n+1}\\-12+3.2^{n+2}&-8+9.2^{n}\end{pmatrix} pour n impair

mais pour n pair en faisant la même démarche je trouve un truc faux:

3$A^n = \begin{pmatrix}1&0\\0&2^{n}\end{pmatrix} pour n pair

et il se trouve que l'expression pour n impair marche aussi pour n pair, alors ma démarche est-elle mauvaise ??

Merci...

Posté par
jeansebre : matrices 28-05-09 à 14:19

Bonjour

Tu as une erreur au depart pour An:

A = PDP-1

donc A² = PDP-1.PDP-1 = PD(P-1P)DP-1= PD²P-1

Par récurrence An = PDnP-1

que tu peux calculer facilement.

Ce calcul est une des principales utilisations de la diagonalisation.

Posté par
ottore : matrices 28-05-09 à 14:20

Bonjour,
dès le départ c'est faux,
(PDP^-1)^n n'est certainement pas égal à P^nD^nP^(-n) ...

Posté par
deruedavidre : matrices 28-05-09 à 14:30

ok merci c'est plus simple comme ça

Posté par
deruedavidre : matrices 28-05-09 à 14:44

...et après ils demandent de trouver Un et Vn en fonction de n avec :

4$U_n = -7U_{n-1} - 6V_{n-1} \\ V_n = 12U_{n-1} + 10V_{n-1}

U_0 = 1 et V_0 = -1

Je vois pas comment faire en utilisant la matrice A...

Pouvez-vous m'aider svp ?

Posté par
ottore : matrices 28-05-09 à 14:49

Bonjour,
tu ne vois vraiment aucun lien entre le système que tu as et la matrice A ?????????

Posté par
deruedavidre : matrices 28-05-09 à 14:54

ben ouais c'est les mêmes coefficients quoi...

Posté par
ottore : matrices 28-05-09 à 14:56

Et donc ... ?
Comment écrire ton système matriciellement ?

Posté par
deruedavidre : matrices 28-05-09 à 15:10

Je sais pas trop...

AX = Y avec X=\(U_{n-1}\\V_{n-1}\)   et   Y = \(U_n\\V_n\)   ??

Posté par
ottore : matrices 28-05-09 à 15:11

Oui c'est ca, donc tu as une suite géométrique, de raison A.

Posté par
deruedavidre : matrices 28-05-09 à 15:21

Ha donc :

\(U_n\\V_n\) = \(U_{n-1}\\V_{n-1}\) A

ce qui signifie : \(U_n\\V_n\) = \(U_0\\V_0\) A^n  ?

Posté par
ottore : matrices 28-05-09 à 15:29

Penses tu pouvoir multiplier une matrice ligne à droite par une matrice carrée et que ça donne une matrice ligne ?

Posté par
deruedavidre : matrices 28-05-09 à 15:32

c'est un problème de notation non ?

Posté par
deruedavidre : matrices 28-05-09 à 15:34

parce qu'après je trouve bien les expressions des suites...

Posté par
ottore : matrices 28-05-09 à 16:07

C'est un problème de notation oui et non ...
Tu as une loi d'addition sur l'ensemble des matrices n*m qui est naturelle mais tu n'as pas de loi de multiplication.
Tu peux définir une multiplication entre 2 éléments qui ne sont pas dans le même espace à condition de respecter certaine règle. Par définition cette multiplication n'est pas commutative puisqu'elle ne peut tout simplement pas être définie.

Tu ne peux multiplier que dans l'autre sens, AX est bien défini et XA aussi d'ailleurs, mais le résultat ne sera pas dans le même espace.
Dans le premier cas tu auras une matrice ligne, dans le deuxième cas une matrice colonne et il n'y aura pas de lien entre les deux résultats si ta matrice n'est pas symétrique.


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