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Matrices
Bonjour à tous,
j'ai un soucis avec un exercice dont voici le sujet
soit A l'ensemble des matrices 2,2
soit F appartenant à A avec F=[a -b]
b c
et I la matrice Identité 2.
J'ai déjà montré que l'ensemble des matrices qui commutent avec F est un sous espace vectoriel de A.
Puis j'ai montré que (F,I) est une base de c sous espace vectoriel.
On définie a[n] et b[n] deux réels tels que
F^n=a[n]F+b[n]I
mon problème est de déterminer une relation de récurrence entre a[n],a[n+1],a[n+2], je me perd dans les calculs.
Je remerci d'avance veux qui pourront m'aider.
Bonjour,
Le polynôme caractéristique te donne une relation entre I, F et F² :
P(X) = (a-X)(c-X) + b² = X² - (a+c)X + ac + b²
d'où
F² = (a+c)F - (b²+ac)I
Ca devrait pouvoir te servir pour la suite...
Déjà, ça te sert à l'initiation de la récurrence.
Ensuite, tu supposes :
Fn = anF + bnI
D'où Fn+1 = anF2 + bnF = an((a+c)F-(b2-ac)I) + bnF
Fn+1 = (an(a+c) + bn)F - an(b2-ac)I
D'où :
an+1 = (a+c)an + bn
bn+1 = - an(b2-ac)
On peut découpler an de bn en faisant :
an+2 = (a+c)an+1 + bn+1
an+2 = (a+c)an+1 - an(b2-ac)
Récurrence linéaire d'ordre 2 à coefficients constants, résolution classique vue en Terminale.
Et quant tu as trouvé an, tu en déduis bn+1 par l'autre équation.
Tous calculs à vérifier soigneusement... 
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