Inscription / Connexion Nouveau Sujet
matrices avec des lettres
Bonjour,
Je dois résoudre un exercice, mais je ne comprend pas bien comment je dois faire.
On considère la matrice A = (0 −c b)
(c 0 −a)
(−b a 0)
avec (a, b, c) appartient à (R*)3
1) Calculer A2 en fonction des matrices B et I3 où B est la matrice définie par
B= (a)
(b) * (a b c)
(c)
que l'on demande de déterminer.
2) Calculer B2, B3 puis Bn, pour tout n appartenant à N*
3) Calculer A3 puis donner une méthode qui permette de déterminer An, pour tout n appartenant à N*
alors j'ai calculé A² je trouve
( -c²-b² ab ac)
( ab -c²-a² bc)
( ac bc -b²-a²)
Mais après je ne vois pas comment faire, et je ne comprend pas ce que veut dire "que l'on demande de déterminer" pour la matrice B.
Merci d'avance.
Bonjour,
si ton calcul est juste, tu n'as plus qu'à constater qu'en soustrayant B à A², on obtient la matrice dont tous les coefficients sont nuls, à l'exception des coefficients diagonaux, tous égaux à -a²-b²-c² .
Autrement dit, on aura A² - B = ( -a²-b²-c²)I donc A² = B - (a²+b²+c²)I.
On te demande au préalable de calculer B.
Merci, par contre je pense que cest A² = B + (a²+b²+c²)I et non pas B -
Ensuite j'ai calculé B², je commence à trouver des combinaison de a^4+a²b²+a²c² etc... pour chacune des celulles
je n'ai pas encore calculé B3 mais je pense que ca va commencer a devenir énorme avec 9 additions par celulle de la matrice mais je le ferai pour l'exo
Mais dans ce cas comment est-ce possible de terminer B à la puissance n pour tout n? car à chaque puissance on ajoute des termes.
Idem pour A puissance n je ne vois pas comment trouver une méthode générale.
Merci d'avance.
tinybond1 -> Les coefficients diagonaux de B sont a², b², et c².
Donc, quand tu calcules A² - B, tu obtiens -a² - b² - c² pour chaque coefficient diagonal, et 0 partout ailleurs.
On a donc bien A² - B = (-a²-b²-c²)I.
Pour le calcul de B^n, tu peux utiliser l'astuce de Camélia (salut! 
), en corrigeant la faute de frappe à la fin puisqu'on a en fait .
Enfin pour élever A à la puissance n, tu peux distinguer selon la parité de n:
A^(2k) s'obtient en élevant B - (a²+b²+c²)I à la puissance k (la formule du binôme s'applique puisque les deux termes commutent)
A^(2k+1) s'obtient en multipliant A^(2k) par A. 
Bonjour,
Merci beaucoup pour votre aide.
Cependant, j'ai une question sur la matrice B.
Camélia calcule cette matrice avec la matrice ligne abc multiplié par la matrice colonne abc et obtient une matrice avec une seule celulle a²+b²+c².
Or Tigweg lui (et comme moi j'ai fait) fait l'inverse, à ce moment là on obtient une matrice 3*3 avec les 3 coefficient diagonaux égaux à a², b², c² et les coefficients non diagonaux sont ab, ac ou bc.
Ce n'est donc pas pareil et on obtient pas les mêmes résultats, non?
et sinon pour la matrice A^2k et A^2k+1 on peut les donner uniquement sous la forme que tu as dis?
c'est à dire A^2k = [B - (a²+b²+c²)I]^k?
On ne peut pas arriver à une matrice et dire que A^2k = une matrice avec des k à remplacer suivant la puissance désirée?
Bonjour tinybond,
tu as mal compris la démarche de Camélia:
elle ne calcule pas B (elle aurait fait comme toi et moi! ), mais B² en utilisant une petite astuce, astuce que tu as apparemment bien comprise.
On obtient donc les mêmes résultats.
Pour A^(2k), tu dois développer [B - (a²+b²+c²)I]^k à l'aide du binôme de Newton et remplacer les puissances de B par la formule générale donnée par Camélia.
L'expression simplifiée de cette matrice dépendra bien évidemment de k.
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac