alors

Salut toi

Il suffit de montrer que A et B ont les mêmes valeurs propres.

Clairement, les valeurs propres de A sont les éléments de sa diagonale donc i et -i.

Les valeurs propres de B sont les racines de : c'est gagné, les valeurs propres de B sont aussi i et -i !

les deux matrices sont semblables

Bonsoir

gui_tou > si je peux me permettre, je voudrais préciser un peu les choses. Peux-être que c'était sous-entendu mais il faut aussi préciser que ces deux matrices sont diagonalisables car avoir les mêmes valeurs propres ne suffit pas (il faut en plus qu'il y ait la même multiplicité et encore dans ce cas, ça ne suffit pas).

Pour preuve : si on prends la matrice identité et une matrice triangulaire supérieure avec des 1 sur la diagonale et au moins un coefficient non diagonal et non nul, ces deux matrices ne sont pas semblables.


Kaiser

ah salut gui-tou déjà merci de ton aide!

Je ne comprends pas trop la formule, det(B-...)? comment fais tu pour tomber sur x²-1 (d'où vient le x il correspond à quoi en fait) s agit il d une formule à connaitre?

Exact kaiser
J'aurais dû insister sur le fait qu'elles étaient diagonalisables

tazia > c'est la formule du polynôme caractéristique,

ok... tout ca on ne l'a pas encore vu en cours donc ca ne m'etonne pas trop!

en tout cas merci!

Pour compléter ce que tu dis gui_tou, dans le cas générale d'une matrice A carré d'ordre 2, (bref, c'est un déterminant 2*2 tout bête).

Kaiser

Toutafé kaiser!

tazia > arf alors. Si tu ne l'as pas vu on va faire autrement : on va construire une base (v₁,v₂) telle que la matrice de f (l'endomorphisme canoniquement associé à A) soit B dans la base (v₁,v₂)

tu as déjà fait ce genre de choses ?

Bonsoir tazia, gui_tou et kaiser.

Je suis en train de me demander si tazia ne veut pas simplement chercher la conjuguée de A.

Sinon, ce que nous lui proposons s'appelle plutôt matrices semblables.

Voici ce que j'ai vu en cours:

B=S*A*S^-1 ce qui correspond à:

-1 0    S *  i  0  * S^-1
0 1 =       0 -i

si on prend S=a b  on aura:
              c d

S^-1=(1/(ad-bc))*  d -b
                  -c  a
Mais je ne sais pas comment trouver S...

Je veux montrer que B est semblable à A, de voir si A et B sont conjuguées l'une par rapport à l'autre.

Pose :

Ecris B.S = S.A, fais le calcul et résous le système.

Bonjour raymond,

Je ne crois pas, la courageuse tazia a des exercices allemands qu'elle traduit, et une petite faute de traduction subsiste par-ci par-là

tazia > et tu as déjà construis des bases comme on l'a suggéré ?

Merci pour cette précision.

Je lui ai proposé dans mon dernier topic, une méthode élémentaire.

pour BS=SA je trouve:

BS=  z  t
    -x -y

SA= xi -yi
    zi -it
je trouve donc :

S= -zi  it
    xi -yi

ca m'apporte quelque chose ou pas?

Lorsque tu écris que BS = SA, cela te donne quatre équations (calcul à vérifier) :

z = ix
t = -iy
-x = iz
-y = -it

oui justement c'est de là que je trouve S avec:
x=-zi
y=it
z=xi
t=-yi ce sont les valeurs que j'ai placé dans la matrice S.
Maintenant faut calculer S^-1 c est ca?(là aussi je ne saurais pas)

raymond et gui_tou> en adoptant le vocabulaire de l'algébriste, ce n'est pas vraiment une faute de traduction car montrer que ces deux matrices sont semblables c'est dire qu'elles sont conjuguées dans le groupe .

Kaiser

Tu peux maintenant choisir par exemple :

1°) x = 1, donc, z = i

2°) y = 1, donc, t = -i

kaiser.

Tu as entièrement raison, une classe de similitude est une classe de conjugaison.

je tombe sur:

S= 1  1
   i -i
et lorsqu'on calcul BS et SA on trouve la même chose!

Merci beaucoup de votre aide!