Inscription / Connexion Nouveau Sujet
matrices de Hilbert
bonjour je bloque sur un exercice qui porte sur l'approximation au sens des moindres carrés et sur les matrices de Hilbert.voici l'énoncé:
on considère une fonction f de L²([0,1]) et on cherche la meilleure approximation au sens des moindres carrés de f par un polynôme de degré au plus n.
1)Montrer que ce problème se ramène à la résolution d'un système d'équations linéaires d'ordre n+1, de matrice Hn+1 que l'on explicitera.
Alors j'ai posé mes n+1 équations:
||f-p0||=min ||f-v0||
||f-p1||=min ||f-v1||
.
.
.
||f-pn||=min ||f-vn|| avec vn un polynôme de degré au plus n
mais je n'arrive pas à mettre ce système sous forme de matrice. je suis allée voir ce qu'était la matrice de Hilbert et je ne vois pas le rapprochement avec ce système.
2) montrer que la matrice Hn+1 est symétrique, définie positive.
merci davance de votre aide
Bonsoir,
Cette meilleure approximation de f est la projection orthogonale, notons-la p, de f sur le sous-espace Pn des polynômes de degré 
n.On a donc :
(1) p(x) = a0 + a1*x + a2*x2 + a3*x3 + ... + an*xn;
(2) f - p est orthogonal à Pn, donc à 1,x,x2, ... ,xn,
c'est à dire .
Si tu explicites ces n+1 conditions en utilisant (1) tu obtiendras un système linéaire dont la matrice est Hn+1, les inconnues les coefficients a0,a1,...,an, et les seconds membres les nombres avec k=0,...n.
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac