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Matrices de trace nulle.
Bonjour ;
Soit
telle que
(c'est à dire que la somme de ses coefficients diagonaux est nulle).
Prouver l'existence de deux matrices telles que
.
Peut-on généraliser ce résultat à
(où
est un corps commutatif quelconque) ?
Bonne réflexion elhor 
(sauf erreur de ma part bien entendu).
je ne sais pas si le fait de remonter d'ancien topic dérange ... on me le signalera.
pb: soit
Mq
l'inclusion directe est claire.
pour l'autre on revient au pb posé : si tr(M)=0 il faut et suffit de mq M s'écrit AB-BA.
je pensais peut être à construire une base de Ker(tr) avec justement des matrices de la forme voulue mais pas moyen ...
J-R >>
[blank] Commence par montrer que toute matrice de trace nulle est semblable à une matrice dont tous les éléments diagonaux sont nuls. Après c'est easy de conclure. [/blank]
Si je ne me trompe pas, on a facilement dim(ker(tr)) = n-1 en passant par les polynômes caractéristiques.
Si on prend f
A,B) 
AB-BA, on a f(A, B) = 0 dès que l'on choisit A et B avec uniquement des 1 et des 0 sur la diagonale, 0 partout ailleurs, et de sorte que A+B = I (A
0 et B0)
On a donc dim(ker(f)) 
n-1
Avec dim(ker(f)) n-1 et ker(f o tr)
ker(tr), il y a moyen de conclure avec les dimensions, non ?
Bon ... J'éprouve le besoin de préciser car la rédaction n'est pas très fignolée.
En gros dans mes derniers posts j'ai montré n-1 
dim(ker(tr o f)) dim(ker(tr)) = n-1
Avec les dimentions, on obtient ker(tr o f) = ker(tr) donc tr(M) = 0 
M 
Im(f)
Voilà qui clarifie mes idées.
Dites moi si je me trompe.
schumi: bon j'ai regardé sur le net une solution (en plus justement ils se posaient le pb de K ou R avec la caractéristique ... enfin ton il suffit ne minimise pas la chose
supposons que l'on est ce résultat:
avec A de diag nulle mais pour conclure ?
Bon ... J'éprouve le besoin de préciser car la rédaction n'est pas très fignolée.
En gros dans mes derniers posts j'ai montré n-1 <dim(ker(tr o f)) < dim(ker(tr)) = n-1.
ben dim(ker(tr))=n^2-1 par le th du rang ?
je regarde ...
Oui regarde ... Je ne suis pas du tout sûr de moi et en plus mon raisonnement
ker(tr o f) = ker(tr) donc tr(M) = 0 M Im(f)
Salut à tous
On suppose qu'il existe deux matrices A et B de Mn.Or on sait que l'application Trace (tr) est invariante par changement de base et Tr(AB)=Tr(BA)Tr(AB)-Tr(BA)=0Tr(AB-BA)=Tr(d(une matrice de trace nulle)(on prend TrM=0)Tr(AB-BA)=Tr(M)AB-BA=M est vérifié.
euh ... tr(AB-BA)=tr(M) => AB-BA=M ? pourquoi cela ? tu as choisis M comment (outre le fait qu'elle soit de trace nulle) ?
Bien sûr J-R, si je suppose qu'il existe deux matrices carrées A et B, or Tr(AB)=Tr(BA) alors comme trace est une application linéaireàTr(AB-BA)=0
une matrice de trace nulle, ce qui prouve l'existence de la matrice M.Alors Tr(AB-BA)=Tr(M)AB-BA=M.
Ou bien, je démontre de sens contraire.
On sait que Tr(M)=0 alors soient deux matrices carrées A et B,on sait que:
AB-AB=0
Tr(AB)-Tr(BA)=0Tr(AB)-Tr(BA)=Tr(M) car Tr(AB)=Tr(BA) et par hypothèse Tr(M)=0
Ce qui conclu.
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