Salut. La première question semble assez directe... Le rang d'une matrice M est la dimension (m) de la plus grande sous-matrice carrrée de M qui soit inversible n'est-ce pas? (cad telle que les vecteurs collonnes de cette matrice soit indépendants) Peux-tu confirmer cette définition? si c'est bien le cas, alors il est facile de voir que la matrice Jr est de rang r puisque on peut en extraire la sous matrice identité Ir (de dimension r) et puisque toute sous matrice qui contient plus de r lignes de Jr contiendra une ligne nulle et ne sera donc pas inversible. Il faut ensuite voir que la multiplication d'une matrice par une matrice inversible (et a fortiori par 2 telles matrices) ne change pas son rang. La tu peux sans doute utiliser ton idée de passer des matrices carrées aux endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Peux-ty alors préciser en quoi ce passage permet d'affirmer immédiatement que rg(A)=rg(f)=rg(Jr)?

Pour la seconde question, j'ai une idée mais elle est peut etre un peu trop du "bricolage". Si la matrice de départ a toutes ces valeurs sur la diagonale nulle, alors il n'y a rien à faire (on peut prendre l'identité pour A) Sinon, soit "i" une des lignes-colonnes sur laquelle le coefficient diagonal de A est non nul. Considère alors la matrice diagonale P inversible dont tous les coefficients sont égaux à 1 sauf le ième qu'on pose égal à (1+e) (où e est un nombre à déterminer différent de -1). On vérifie que tous les coefficients diagonaux de (AP) sont les memes que ceux de A sauf pour le ième. Le ième coefficient diagonal de (AP) sera (par rapport à celui de A) multiplié par (1+e). Il est alors facile de déterminer le nombre e pour que la trace de AP s'annulle.

Hm ca m'a l'air pas mal ce que tu propose je vais y regarder de près !
Sinon une autre chose toute bete :
Soit  E un R-espace vectoriel de dimension finie n, p un projecteur de E. On se donne (e1,....,er) base de Im p et (h1,....hk) base de Ker p
montrer que (e1,....,er,h1,....hk)) est une base de E
j'avais pensé  :
génératrice : théorème du rang


libre composer par la fonction f , donc les f(somme de h de 1 a k)= 0 => on a A1p(e1)+.....Anp(en) = A1e1 + .....Arer comme p projecteur et la famille base de Imp p

Donc ts les coefs sont nuls , on reviens a la somme initiale on retombe sur somme de B1h1+....+Bkhk ^= 0
or (h1,....hk) base donc ts les coefs sont nuls

vous en pensez quoi ?