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Matrices et applications linéaires

Posté par
laurafr13 24-08-08 à 21:08

Bonjour,

Merci pour votre aide,

Dans cette partie, E désigne un C-espace vectoriel de dimension 3, muni de la base B = (e1, e2, e3).
On considère l'endomorphisme f de E dont la matrice associée dans la base B est:

A = MatB(f) = \begin{pmatrix} \\ 1&2&2 \\ \\ 1&1&2 \\ \\ -2&-2&-3 \\ \\ \end{pmatrix}

1. Vérifier que la famille C = (e1, f(e1), f2(e1)) est une base de E. Déterminer la matrice de f dans C.

J'ai déjà quelques difficultés sur cette question.

Pour commencer on a bien e1=(1,2,2) et f(e1)=(1,1,-2)?

Ensuite pour calculer f2(e1), j'ai exprimé l'application f et je trouve:

f: (x, y, z) (x+2y+2z, x+y+2z, -2x-2y-3z), est-ce correct? Parce qu'à partir de ceci je suis censée trouver f4(e1)=e1 et je n'y arrive pas...

Merci encore pour vore aide précieuse,

Laura

Posté par
Nightmarere : Matrices et applications linéaires 24-08-08 à 21:16

Salut

Pourquoi se fatiguer?

E est de dimension 3 et C a 3 vecteurs, il suffit de montrer par exemple qu'elle est libre.

On ne connait pas e1. Par contre on sait que 3$\rm f(e_{1})=e_{1}+e_{2}-2e_{3}
3$\rm f^{2}(e_{1})=f(e_{1})+f(e_{2})-2f(e_{3})=-e_{1}-2e_{2}+2e_{3}

Conclus.

Posté par
gui_toure : Matrices et applications linéaires 24-08-08 à 21:17

Salut laurafr13

4$A=\(\array{3,c.cccBCCC$&f(e_1)&f(e_2)&f(e_3)\\\hdash~e_1&1&2&2\\e_2&1&1&2\\e_3&-2&-2&-3\)

On a 3$f(e_1)=e_1+e_2-2e_3

et

3$f^2(e_1)\ =\ f(f(e_1)) \\ f^2(e_1)\ =\ f(e_1+e_2-2e_3) \\ f^2(e_1)\ =\ f(e_1)+f(e_2)-2f(e_3) \\ f^2(e_1)\ =\ e_1+e_2-2e_3\ +\ 2e_1+e_2-2e_3\ -\ 2(2e_1+2e_2-3e_3) \\ f^2(e_1)\ =\ -e_1-2e_2+2e_3

Sauf erreur de calcul, tu dois montrer que la famille 3$(e_1,f(e_1),f^2(e_1)) est une base de E.

Il te suffit de montrer qu'elle est libre

Posté par
topalgre : Matrices et applications linéaires 24-08-08 à 21:18

Salut. Je pense que e1 est le vecteur (1, 0, 0)...

Posté par
topalgre : Matrices et applications linéaires 24-08-08 à 21:18

Bon, j'ai dis n'importe quoi.

Posté par
gui_toure : Matrices et applications linéaires 24-08-08 à 21:19

Salut Jord et topalg

Citation :
Salut. Je pense que e1 est le vecteur (1, 0, 0)...


C'est probable que ce soit la base canonique, mais on s'en moque, ça marche quel que soit e1 !

Posté par
laurafr13re : Matrices et applications linéaires 24-08-08 à 21:40

Merci beaucoup!

Posté par
gui_toure : Matrices et applications linéaires 24-08-08 à 23:36

Pour ma part, je t'en prie laura

Posté par
laurafr13Suite de l'exercice 25-08-08 à 11:03

Bonjour,

Merci d'avance pour votre aide précieuse,

J'ai un petit problème pour la suite de l'exercice.

J'ai montré que C est une base de E, j'ai écrit la matrice de f dans C en calculant f3(e1)=-e1+e2.
On me demande ensuite de montrer que f est cyclique d'ordre 4, m'ayant donné la définition d'un endomorphisme cyclique en introduction.

Je prouve donc que f4(e1)=e1, que la famille (e1, f(e1), f2(e1), f3(e1)) est génératrice de E (je trouve qu'elle est égale à Vect((1,1,-1,-1),(0,1,-2,1),(0,-2,2,0))), j'ai aussi explicité que les éléments de cette famille sont deux à deux distincts, cette famille est donc un cycle de f et f est cyclique d'ordre 4.

La question qui me pose problème est la suivante, on me demande de démontrer que f4 est l'application identité, j'ai pensé à faire 4 fois le produit de la matrice A avec elle-même, mais ca ne serait que dans la base B...

Merci encore pour votre aide,

Laura

Posté par
gui_toure : Matrices et applications linéaires 25-08-08 à 12:07

Re !

Citation :
Je prouve donc que la famille (e1, f(e1), f2(e1), f3(e1)) est génératrice de E


Suffit de dire que 3$\rm(e_1,f(e_1),f^2(e_1)) est une base de E, donc génératrice, donc a fortiori 3$\rm(e_1,f(e_1),f^2(e_1),f^3(e_1)) aussi.

Citation :
La question qui me pose problème est la suivante, on me demande de démontrer que f4 est l'application identité, j'ai pensé à faire 4 fois le produit de la matrice A avec elle-même, mais ca ne serait que dans la base B...


Et alors ? ^^

Soit tu t'amuses avec des produits matriciels : 3$\rm A^4=I_3 donc 3$\rm f^4=Id_E

Soit tu montres que les vecteurs d'une base quelconque de E sont invariants.

> on peut alors gagner du temps, en ayant recours à la base 3$\rm(e_1,f(e_1),f^2(e_1)).

En effet, 3$\rm f^4(e_1)=e_1   ,   3$\rm f^4(f(e_1))=f(f^4(e_1))=f(e_1)   ,   3$\rm f^4(f^2(e_1))=f^2(f^4(e_1))=f^2(e_1)

Donc paf, 3$\rm f^4=Id_E

Posté par
laurafr13re : Matrices et applications linéaires 25-08-08 à 12:10

Merci beaucoup, j'ai encore un soucis... Oui je sais ca fait beaucoup de soucis pour une seule femme.

La question suivante c'est de montrer qu'il existe une base D=(v1,v2,v3) telle qu

MatD(f)= (-1 0 0
                     0 i 0
                     0 0 i)

Remarque: on choisira la coordonnée des vecteurs v1, v2, v3 égale à 1.

La je ne vois pas du tout la solution.

Posté par
gui_toure : Matrices et applications linéaires 25-08-08 à 12:30

Il faut diagonaliser A dans 3$\rm M_n({\bb C})

4$\rm mat_D(f)=\(\array{3,c.cccBCCC$&f(v_1)&f(v_2)&f(v_3)\\\hdash~v_1&-1&0&0\\v_2&0&i&0\\v_3&0&0&i\)

Donc 3$\rm\{f(v_1)=-v_1\\f(v_2)=i.v_2\\f(v_3)=i.v_3

----------------------

On construit 3$v_1{\|x\\y\\z}_B tel que 3$f(v_1)=-v_1  (B la base canonique de R3)

3$f(v_1)=-v_1\ \Leftright\ \{x+2y+2z=-x\\x+y+2z=-y\\-2x-2y-3z=-z\} \\ f(v_1)=-v_1\ \Leftright\ \{x+y+z=0\\x+2y+2z=0\} \\ f(v_1)=-v_1\ \Leftright\ \{x=0\\y=y\\z=-y

On choisit donc 3$v_1{\|0\\1\\-1}_B

----------------------

On construit 3$v_2{\|x\\y\\z}_B tel que 3$f(v_2)=i.v_2  (B la base canonique de R3)

3$f(v_2)=i.v_2\ \Leftright\ \{x+2y+2z=i.x\\x+y+2z=i.y\\-2x-2y-3z=i.z\} \\ f(v_2)=i.v_2\ \Leftright\ \{x=x\\y=\fr{1+i}{2}x\\z=-x

On choisit donc 3$v_2{\|1\\\fr{1+i}{2}\\-1}_B

----------------------

On construit 3$v_3{\|x\\y\\z}_B tel que 3$f(v_3)=-i.v_3  (B la base canonique de R3)

3$f(v_3)=-i.v_3\ \Leftright\ \{x+2y+2z=i.x\\x+y+2z=i.y\\-2x-2y-3z=i.z\} \\ f(v_3)=-i.v_3\ \Leftright\ \{x=x\\y=\fr{1+i}{2}x\\z=-x

On choisit donc 3$v_3{\|1\\\fr{1-i}{2}\\-1}_B




Donc cette base existe, elle est donnée par les vecteurs  3$v_1{\|0\\1\\-1}_B ,  3$v_2{\|1\\\fr{1+i}{2}\\-1}_B  ,   3$v_3{\|1\\\fr{1-i}{2}\\-1}_B  (bien sûr ces coordonnées sont dans la base canonique)

Posté par
laurafr13re : Matrices et applications linéaires 25-08-08 à 12:38

Merci infinimement pour toutes ces réponses. Le devoir n'est pas encore fini et j'aurais surement encore des ennuis avec la suite qui est le cas général. Je continuerai à poster sur ce topic. Merci beaucoup. A bientôt surement.

Posté par
laurafr13re : Matrices et applications linéaires 25-08-08 à 12:38

Euh par contre petite question. Pourquoi on a pas 1 en e2 pour toutes les coordonnées?

Posté par
laurafr13re : Matrices et applications linéaires 25-08-08 à 12:39

cf: la remarque

Posté par
laurafr13re : Matrices et applications linéaires 25-08-08 à 12:39

C'est bon j'ai compris. Ca dépend juste du choix qu'on fait.

Merci beaucoup.

Posté par
gui_toure : Matrices et applications linéaires 25-08-08 à 12:53

De rien

Posté par
gui_toure : Matrices et applications linéaires 25-08-08 à 12:58

D'ailleurs, en notant P la matrice de massage de B vers D, on a

3$\rm P=\(\array{0&1&1\\1&\fr{1+i}{2}&\fr{1-i}{2}\\-1&-1&-1\)  et   3$\rm A=\(\array{2&2&2\\1&1&2\\-2&-2&-3}\)=P.\(\array{-1&0&0\\0&i&0\\0&0&-i}\).P^{-1}

Posté par
laurafr13re : Matrices et applications linéaires 25-08-08 à 13:19

Je crois que tu as fais une erreur de signe pour v3

Posté par
gui_toure : Matrices et applications linéaires 25-08-08 à 13:25

Ah oui j'ai mal recopié, mais le résultat est juste !

Posté par
laurafr13re : Matrices et applications linéaires 25-08-08 à 14:13

juste une petite remarque, je crois que P c'est la matrice de passage de D vers B, parce que la formule de changement de base c'est A= P^-1.MatD(f).P

Posté par
gui_toure : Matrices et applications linéaires 25-08-08 à 14:16

Euh non, A=PDP-1

Posté par
gui_toure : Matrices et applications linéaires 25-08-08 à 14:20

avec D = MatD(f)

Posté par
laurafr13re : Matrices et applications linéaires 25-08-08 à 14:27

Alors, encore un soucis,

voila la partie 2 est le cas général de la partie 1.

E est un C-espace vectoriel de dimension n et f est un endomorphisme de E, cyclique d'ordre p.

Je dois montrer que pn et que fp est l'identité pour en déduire que c'est un automorphisme puis préciser f-1..

La je dois avouer que je suis à nouveau à court d'idée.. récurrence?

Posté par
laurafr13re : Matrices et applications linéaires 25-08-08 à 14:37

au fait tu peux me donner des précisions sur les matrices de passage au dessus, j'avoue m'emmeler un peu les pinceaux avec les bases

Posté par
gui_toure : Matrices et applications linéaires 25-08-08 à 14:45

Soit 3$\rm F=\(\vec{a},f(\vec{a}),...,f^{p-1}(\vec{a})\) un cycle de f .

Une famille génératrice a plus d'éléments que la dimension de l'espace généré. Donc 3$p\ge n

Ensuite on remaque que 3$\rm\forall k\in{\bb N},\;f^p(f^k(\vec{a}))=f^k(\vec{a})

Montrons que 3$\rm f^p=Id_E.

Soit 3$\vec{x}\in E. Puisque 3$\rm F=\(\vec{a},f(\vec{a}),...,f^{p-1}(\vec{a})\) est génératrice, on peut écrire :

3$\vec{x}\ =\ \rm{\lambda_0\vec{a}+\lambda_1f(\vec{a})+...+\lambda_{p-1}f^{p-1}(\vec{a})

On a alors

3$\rm f^p(\vec{x})\ =\ \lambda_0f^p(\vec{a})+\lambda_1f^{p+1}(\vec{a})+...+\lambda_{p-1}f^{2p-1}(\vec{a}) \\ f^p(\vec{x})\ =\ \lambda_0\vec{a}+\lambda_1f(\vec{a})+...+\lambda_{p-1}f^{p-1}(\vec{a}) \\ f^p(\vec{x})\ =\ \vec{x}

Ainsi 3$\rm f^p=Id et 3$\rm f\cir f^{p-1^} = f^{p-1}\cir f = Id donc f est bijective et 3$\rm f^{-1}=f^{p-1

Posté par
laurafr13re : Matrices et applications linéaires 25-08-08 à 14:51

Merci infiniment une nouvelle fois, j'ai compris les histoires de matrices de passage.

Je continue dans mes questions parce qu'apparemment j'ai de sacrés problèmes avec ce devoir.

On note m le plus grand des entiers naturels k tels que la famille (x0, f(x0)...fk-1) est libre.

Justifier l'existence de m et montrer que fm(x0) est combinaison linéaire de x0, f(x0)...fm-1.

Posté par
gui_toure : Matrices et applications linéaires 25-08-08 à 15:14

Jte recopie mon cours

3$\rm\blue\fbox{Matrice de passage d'une base a une autre

Soit 3$\rm E un espace vectoriel de dimension finie 3$n.

Soit une base 3$\scr{B}=(e_1,...e_n) de 3$\rm E.
Soit 3$\scr{B'}=(e^'_1,...e^'_n) une nouvelle base de 3$\rm E telle que

3$e^'_1{\|p_{11}\\p_{21}\\\vdots\\p_{n1}}_{\scr B  ,  3$e^'_2{\|p_{12}\\p_{22}\\\vdots\\p_{n2}}_{\scr B  ,  ...  ,  3$e^'_n{\|p_{1n}\\p_{2n}\\\vdots\\p_{nn}}_{\scr B

On pose 3$P=\(\array{p_{11}&p_{12}&\ldots&p{1n}\\p_{21}&p_{22}&\ldots&p{2n}\\\vdots&\vdots& &\vdots\\p_{n1}&p_{n2}&\ldots&p_{nn}\)

3$\rm P est la matrice de passage de 3$\rm\scr B vers 3$\rm\scr B'

Remarques :

Soit 3$\rm Id_E : E_{\scr B'} \to\ E_{\scr B

3$\rm mat(\scr{B'},\scr{B};Id_E)=P

3$\rm P est inversible et 3$\rm P^{-1} = mat(\scr{B},\scr{B'};Id_E)
3$\rm P^{-1 est la matrice de passage de 3$\rm\scr B' vers 3$\rm\scr B

-------------------------------------------
-------------------------------------------

3$m existe puisque le cardinal d'une famille libre dans un espace de dimension n est inférieur ou égal à 3$n.

La famille 3$\(\ \vec{a}\ ,\ f(\vec{a})\ ,...,\ f^{m-1}(\vec{a})\ \) est libre.

La famille3$\(\ \vec{a}\ ,\ f(\vec{a})\ ,...,\ f^{m-1}(\vec{a})\ ,\ f^m(\vec{a})\ \) est liée donc on peut écrire :
3$\lambda_0\vec{a}\ +\ \lambda_1f(\vec{a})\ +\ ...\ +\ \lambda_mf^m(\vec{a})\ =\ 0
avec 3$(\lambda_0,...,\lambda_m)\not=(0,...,0)

Si 3$\lambda_m=0 alors 3$\lambda_0\vec{a}\ +\ \lambda_1f(\vec{a})\ +\ ...\ +\ \lambda_{m-1}f^{m-1}(\vec{a})\ =\ 0 avec 3$(\lambda_0,...,\lambda_{m-1})\not=(0,...,0). C'est impossible car la famille 3$\(\ \vec{a}\ ,\ f(\vec{a})\ ,...,\ f^{m-1}(\vec{a})\ \) est libre !!

Nécessairement 3$\lambda_m\not=0 et on peut alors écrire 3$f^m(\vec{a})\ =\ -\fr{\lambda_0}{\lambda_m}\vec{a}-\fr{\lambda_1}{\lambda_m}f(\vec{a})-...-\fr{\lambda_{m-1}}{\lambda_m}f^{m-1}(\vec{a})

Donc 3$f^{m}(\vec{a}) est une combinaison linéaire de 3$\(\ \vec{a}\ ,\ f(\vec{a})\ ,...,\ f^{m-1}(\vec{a})\ \)




Ton exo ressemble fortement à celui là :

Posté par
laurafr13re : Matrices et applications linéaires 25-08-08 à 15:34

incroyable!

Posté par
gui_toure : Matrices et applications linéaires 25-08-08 à 15:35

Merci merci

Posté par
laurafr13re : Matrices et applications linéaires 25-08-08 à 15:37

c'est plutôt à moi de te remercier, en particulier pour ta patience, merci beaucoup pour le cours je comprends beacoup mieux maintenant.

Merci encore énormément,

A bientot

Posté par
gui_toure : Matrices et applications linéaires 25-08-08 à 15:38

C'était un plaisir ma ptite laura

Posté par
lafol Moderateurre : Matrices et applications linéaires 25-08-08 à 22:43

Bonjour
juste une petite remarque : l'énoncé donnait une contrainte sur une des coordonnées des vecteurs V1, V2 et V3 (laquelle ? il manquait un mot ...)
Je ne suis pas sure que cette contrainte ait été respectée par Guigui ....

Posté par
gui_toure : Matrices et applications linéaires 25-08-08 à 22:48

salut lafol

J'avoue que

Citation :
Remarque: on choisira la coordonnée des vecteurs v1, v2, v3 égale à 1.


est resté flou pour moi

peut-être qu'ils veulent qu'on prenne x=1 dans 3$\{x=x\\y=\fr{1+i}{2}x\\z=-x

Posté par
lafol Moderateurre : Matrices et applications linéaires 25-08-08 à 22:49

faudrait que laura nous dise s'il s'agit de la première, deuxième ou troisième coordonnée .....

Posté par
lafol Moderateurre : Matrices et applications linéaires 25-08-08 à 22:51

le plus cool serait la troisième : il n'y aurait qu'à choisir les opposés de ceux que tu lui as proposés ....

Posté par
laurafr13re : Matrices et applications linéaires 26-08-08 à 04:24

Navrée pour l'imprecision, il s'agissait de la coordonnée sur e2, on pouvait donc adapater le choix du x ou du y pour optenir 1 en deuxième coordonnée.

Merci encore gui_tou


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