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Matrices - Groupe pour la multiplication?
Bonjour,
je travaille sur un exo d'oral des Mines qui est le suivant.
Soient a et b deux réels, on pose la matrice suivante:
A= cosa 0 -sina 0
0 cosb 0 -sinb
sina 0 cosa 0
0 sinb 0 cosb
Montrer l'ensemble G={A(a,b),(a,b)€R²} est un gpe pour la multiplication.
Il faut donc montrer que * est interne, commutative, associative, qu'elle admet un neutre et possède un inverse.
Le pb est le suivant, je ne vois pas quelles matrices utiliser pour répondre à ces questions? Est-ce que je prend deux matrices A(a,b) (identique à celle au dessus) et B(c,d) où je remplace les a et les b par des c et des d?
Merci d'avance!
Bonjour,
Groupe : associatif, neutre et élément inversible
Pour l'associativité, tu prends 3 matrices appartenant à G, A(a,b), B(c,d) C(d,e)
Skops 
Bonjour,
ca semble un peu bourrin d'y aller directement ...
En revanche il y'a des astuces, comme par exemple représenter ta matrice comme une matrice de M2(M2(R)) et voir qu'il y'a des similarités dans les blocs ...
Ca ressemble à des quaternions ...
Bonjour
De toute façon on sait que la multiplication des matrices est associative, d'élément neutre I=A(0,0).
Donc il suffit de vérifier que l'ensemble est stable A(a,b)A(a',b')=A(c,d) avec c et d à trouver, et que l'inverse d'une matrice de cet ensemble est encore dans l'ensemble. En principe, dans la formule ci-dessus en prenant c=d=0, on doit trouver facilement a' et b' pour que A(a',b')=A(a,b)-1
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