Bonjour: Voilà un exercice sur des matrices inversibles.
Soit A et B dans Mn(Z) tel que : A + kB est dans Gln(Z) pour k dans [|0;2n|].
Calculer det(A) et det(B).
Cordialement.
Bonjour
Je peux me tromper, mais je dirais à première vue que :
Det(A) = Det(A+pB) = 1 pour tout p de Z
Idem pour Det(B)
Je me trompe ?
lyonnais >> je pense que tu t'es dis que A-1 est dans Mn(Z), mais je ne pense pas que Gln(Z) signifie que c'est le cas.
Salut tout le monde,
hatimy >
Sauf erreur (et ça peut être le cas).
Pour k = 0, on a A dans Gln(Z) donc A est inversible et A-1 est dans Mn(Z)
Et donc on peut montrer facilement l'équivalence :
M Mn(Z) est inversible ssi det(M) = 1
A confirmer/infirmer
pour mon message de 18:04, une petite inattention : je voulais dire ce N'EST PAS LE CAS !
mais justement pourquoi est ce que A-1 est dans Mn(Z)?
c'est un exo de PSI, ça doit se fa
lyonnais >> Gln(Z) signifie que la matrice est à coefficients dans Z mais que A-1 n'est pas forcément dans Mn(Z). On est bien d'accord ?
Alors là c'est moi qui ne suis pas d'accord. GLn(Z) est l'ensemble des matrices à coeff entiers, dont les inverses sont à coeff entiers, donc Romain a raison ce sont les matrices de determinant 1.
Je n'ai pas encore réfléchi à l'exo...
merci camélia, je me suis donc trompé dans la définition... dans ce cas j'ai résolu l'exercice. Merci à tous !
c'est bon ok je ne vous abandonne pas !
en fait, j'ai posé : P(x) = det(A + xB), polynôme d'ordre n
pour 2n+1 valeurs il prend soit la valeur 1 ou -1. donc il existe au moins n+1 ou P prend la valeur 1 ou -1.
on va dire 1.
On peut poser la polynome Q(x) = P(x)-1 pour conclure qu'il est nul.
pour : det(A +xB)=1 => det(A/x+B)=1/xn, puis x->+
nous permet de conclure.
donc c'est ça ma solution, je ne sais pas si elle est bonne ou pas
on aurait donc pu généraliser l'exercice en prenant 2n+1 valeurs réelles quelconques, pour aboutir au même résultat.
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