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Matrices inversibles
Bonsoir,
Je "planche" sur un petit exercice sur les matrices :
Soient A et B matrices carrées d'ordre n.
Montrer que si AB-BA = A, alors A n'est pas inversible.
N'ayant pas vu les déterminants, j'ai songé à montrer que rg(A)<n, mais ne vois pas trop comment.
(Il est évident que tr(A)=0, mais cette donnée est-elle ici exploitable?)
Merci d'avance !
Salut 
On suppose A inversible. On note son inverse.
En postmultipliant par cette dernière :
En prémultipliant :
On somme :
On passe à la trace :
Or pour toutes matrices U et V , tr(UV)=tr(VU)
Donc
On obtient alors 2n=0 d'où n=0 absurde.
Bonjour
La démonstration est bluffante (Bravo Jord!), mais cependant:
* ...elle n'est pas très naturelle. N'y aurait-il pas plus "simple" (juste pour pinailler)?
* L'utilisation de tr(UV) = tr(VU) est ambigue: on a l'impression qu'on peut mettre les 3 termes dans n'importe quel ordre. On a l'égalité des traces car les deux traces sont égales à tr(B), la trace étant indépendante de la base choisie (ou en écrivant tr[A(BA-1)]= tr [(BA-1)A]= trB et pareil pour l'autre.
Vu que l'on aime pas ma preuve je propose peut être plus "naturel" 
On part de AB-BA=A
On montre par récurrence que
On considère l'endomorphisme défini par
Si A n'est pas nilpotente, alors admet une infinité de valeur propre. Contradiction avec la dimension finie.
A est nilpotente donc clairement non inversible.
C'est mieux?
C'est mieux?
Mwais...Pas très naturel, la récurrence...
et faut pas oublier de dire qu'on est en caractéristique nulle....sinon c'est faux
Tu voudrais énerver Nightmare que tu ne t'y prendrais pas autrement!
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