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Matrices nilpotentes
Bonjour!
Soit p > 0 un nombre premier. Montrer qu'il existe exactement p² matrices nilpotentes avec A
Mat(2,IFp).
(on a le droit d'admettre que dans pour p
2 exactement la moitié des éléments sont des carrés)
J'ai vérifié le cas pour IF3 et effectivement je tombe sur 9(=3²) matrices nilpotentes. Avec le polynome caractéristique 
A=T²-Tr(A)+det(A)=T²-T(a+d)+ad-bc avec :
A=
a b
c d
J'espère que vous pouvez m'aider à le démontrer car un exemple ne suffit pas. Merci d'avance!
Bonjour tazia
En regardant le polynôme caractéristique tu vois que si et seulement si Tr(T)=Det(T)=0.
Donc avec
. Si a=0, b ou c doit être nul, ce qui fait 2p-1 possibilités. Supposons
. Alors b et c sont non nuls, et pour tout b non nul, on a
. Il y a (p-1)/2 valeurs possibles pour
, obtenues chacune deux fois en mettant a ou -a en haut. On peut donner à b n'importe quelle valeur non nulle: (p-1) possibilités. Donc au total
n'aurait-on pas plutôt: -a²=bc car on a det(T)=-a²-bc=0 ?(peut etre ca cange pas grand chose?)
Merci pour ton aide en tout cas 
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