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Matrices nilpotentes

Posté par
sw7gm 06-06-09 à 17:10

Bonjour,

Alors voilà je dois préparer 2 exercices de matrices en vue de mes préparations d'oraux et j'ai vraiment du mal à les faire, j'y ai quasiment passé tout mon vendredi soir voilà le premier :

1) (A,B) Mn()2 telles qu'il existe n+1 valeurs r avec A+rB nilpotente.
Montrer que A et B sont nilpotentes

Pour cet exercice j'ai pensé à utiliser des polynomes et utiliser le fait qu'admettant n+1 racines et étant de degré n, ils étaient nuls mais je n'ai pas abouti
Pour le second

2) Soit A une matrice nilpotente de Mn() et P un polynôme de K[X] vérifiant P(0)=0 et P'(0)0 montrer que Ker A = KerP(A)

Alors pour celui j'ai voulu procéder par double inclusion et montrer tout d'abord que KerAKerP(A) mais maintenant je n'arrive pas à montrer que KerP(A)Ker(A)

Voilà ca serait sympa de votre part de m'aider, d'avance merci et bonne fin de week-end.

Posté par
gui_toure : Matrices nilpotentes 06-06-09 à 17:17

Salut !

n+1 valeurs ... dans un espace de dimension n .. ça devrait te mettre la puce à l'oreille
Essaie d'introduire un polynôme en 3$r et montre que 3$\forall r\in\mathbb{R},\;A+rB est nilpotente. Après ça coule tout seul.

Je regarde le deuxième.

Posté par
gui_toure : Matrices nilpotentes 06-06-09 à 17:19

2) 0 est racine simple de P, ça peut aider

Posté par
sw7gmre : Matrices nilpotentes 06-06-09 à 17:53

Hello gui_tou, sympa de m'aider mais je ne comprends pas ce que tu veux que je fasse pour le 1er exo

Posté par
amauryxiv2re : Matrices nilpotentes 06-06-09 à 19:04

Pour le 1, j'ai pas poussé à fond mais peut-être qu'une récurrence sur n est faisanle ?

Posté par
sw7gmre : Matrices nilpotentes 06-06-09 à 19:25

lol ca fait plaisir amauryxiv2 car nous avons eu la même idée , mais ca n'a rien donné vendredi soir...

Posté par
gui_toure : Matrices nilpotentes 06-06-09 à 20:42

Une récurrence ??

Il existe n+1 nombres complexes 3$r tels que 3$A+rB est nilpotente. On montre que 3$A et 3$B sont nilpotentes.

On travaille dans 3$E=\mathcal{M}_n(\mathbb{C}), et toute matrice nilpotente N de E vérifie 3$N^n=0_E.

Ici, on a donc : il existe n+1 nombres complexes 3$\lambda_1,..,\lambda_{n+1 tels que 3$(A+\lambda_i B)^n=0
L'application 3$\varphi\ :\ \mathbb{C}\to E\\r\to (A+rB)^n vérifie 3$\varphi(\lambda_i)=0_E.
Or c'est une application polynomiale en 3$r, de degré n ; admettant n+1 racines distinctes, c'est le polynôme nul. Du coup, 3$\forall r\in\mathbb{C},\;(A+rB)^n=0.
Il suffit ensuite de choisir 3$r comme ça nous arrange pour conclure.

Posté par
gui_toure : Matrices nilpotentes 06-06-09 à 20:49

Bon le passage :

Citation :
L'application 3$\varphi\ :\ \mathbb{C}\to E\\r\to (A+rB)^n vérifie 3$\varphi(\lambda_i)=0_E.
Or c'est une application polynomiale en 3$r, de degré n


apparaît brouillon, à la relecture.

Citation :
Pour cet exercice j'ai pensé à utiliser des polynomes et utiliser le fait qu'admettant n+1 racines et étant de degré n, ils étaient nuls mais je n'ai pas abouti


Ah mince je n'avais pas vu que tu y avais déjà pensé, c'est très très bien !

Si on appelle 3$a_{ij}(r) le terme de la matrice 3$(A+rB)^n, il s'exprime ainsi : 3$a_{ij}(r)=\Bigsum_{k=0}^n\alpha_k r^k avec 3$\alpha_k qui vaut ce qu'il vaut, on s'en moque.
Mais, pour 3$r=\lambda_i, on sait que 3$(A+\lambda_i B)^n=0 donc les 3$\alpha_{ij}(r) sont tous nuls.
Conséquence : le polynôme 3$\Bigsum_{k=0}^n\alpha_k r^k admet n+1 racines distinctes, c'est le polynôme nul, c'est-à-dire que pour tout complexe r, on a (A+rB)n=0.

ok ?

Posté par
amauryxiv2re : Matrices nilpotentes 06-06-09 à 21:52

Il faut préciser un petit détail: l'ordre de nilpotence est forcément inférieur ou égal à n ... car il n'estpas précisé. Mais peut-être que c'est du cours ...

Posté par
gui_toure : Matrices nilpotentes 06-06-09 à 21:54

Toutafé amaury, je considérais celà comme acquis, mais la démo n'est pas dure

Posté par
sw7gmre : Matrices nilpotentes 06-06-09 à 22:11

ah oui, j'ai un peu cherché sur le net pour trouver une démonstration de

Citation :
l'ordre de nilpotence est forcément inférieur ou égal à n


je suis preneur si vous avez trouvé

Posté par
gui_toure : Matrices nilpotentes 06-06-09 à 22:20

Considère u un endomorphisme de L(Cn) tel qu'il existe p entier tel que up=0 mais up-10.
Prends 3$x\not\in\rm{Ker}u^{p-1 et montre que 3$(x,u(x),..,u^{p-1}(x)) est libre. Qu'en déduit-on sur p Que vaut un ?

Posté par
amauryxiv2re : Matrices nilpotentes 06-06-09 à 22:24

Mouais ... C'est pas si trivial que ça !! lol

Posté par
gui_toure : Matrices nilpotentes 06-06-09 à 22:30

Certes certes ^^

Posté par
amauryxiv2re : Matrices nilpotentes 07-06-09 à 00:36

En fait ca traduit plutôt bien le fait qu'avec un endomorphisme nilpotent u, la dimention de l'image de uk diminue avec k.

Posté par
sw7gmre : Matrices nilpotentes 07-06-09 à 08:52

Ok, j'ai compris le truc des polynômes, maintenant je vais chercher "une bonne valeur de r" pour obtenir mon résultat.

Sinon vous avez des idées pour le second exo ?

Posté par
sw7gmre : Matrices nilpotentes 07-06-09 à 08:56

en fait non il y a un truc qui me dérange dans ta démo gui_tou, dans mon énoncé on parle de n+1 valeurs de r tel que (A+rB) est nilpotente mais rien ne nous indique que c'est le même ordre de nilpotence d'une valeur à l'autre

Posté par
gui_toure : Matrices nilpotentes 07-06-09 à 10:07

C'est vrai, mais cet ordre de nilpotence est forcément inférieur ou égal à n, ce qui fait que dans tous les cas, on a (A+rB)n=0

Posté par
gui_toure : Matrices nilpotentes 07-06-09 à 10:08

Une bonne valeur de r serait par exemple .. 0

Ensuite on peut "inverser les rôles" de A et B.

Posté par
gui_toure : Matrices nilpotentes 07-06-09 à 10:15

Au fait, pour montrer que pour toute matrice nilpotente vérifie An=0, on peut le justifier ainsi (en admettant le théorème de Cayley-Hamilton cela dit)

Il existe p tel que Xp soit un polynôme annulateur de A, donc le spectre de A est inclus dans l'ensemble des racines de Xp. 0 est la seule valeur propre possible de A, et puisqu'on travaille en dimension finie il y a au moins une valeur propre.
Donc le polynôme caractéristique de A s'écrit 3$\chi_A(x)=(-1)^nx^n ; d'après le théorème de Cayley Hamilton on a donc 3$(-1)^nA^n=0.

Sans ce théorème : A est semblable à une matrice triangulaire supérieure, dont les éléments diagonaux sont nuls. Une récurrence facile donne alors An=0.


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