salut je vais (essayer de) t'aider un peu.

1) Déjà tu peux remarque que c'est une famille de n éléments dans un espace de dimension n,il suffit que tu montres qu'elle est génératrice ou libre.

  Pour la liberté par exemple,utilise la "technique habituelle" (je n'en dirais pas plus :p ) et compose par le tout par u.Je suis sûr que tu vas trouver.

pour le 1 on remarque que necessairement u^(n-1)(x) est non nul
considérons un tel x
alors il faut montrer la liberté de la famille on considère une combinaison linéaire et on applique u^n-1 à la combinaison ensuite ce n'est plus difficile.


pour le 2) on voit que les matrices sont diagonales avec les termes de la diagonale non nul.

re-

je n'y parviens pas . En effet , soit , alpha (x,u(x),u²(x),...u^(n-1)(x))+béta = 0 ?

Pour le 2) s'inspirer des identités remarquables

et


Sauf erreur

Pour montrer que la famille est libre, il faut déjà maitriser la définition : montrer que

Pour le prouver maintenant, il faut bien choisir le et comme il a été dit ci-dessus, tu peux choisir ce tel que . Ensuite compose la relation (1) par et voit ce que tu en tires, puis continue dans la même logique pour prouver que les sont tous nuls.

d'après la définition d'une matrice nilpotente :

en composant par u ^n-1(x) différend de zéro , alors u^n(x)=0 , ainsi de suite et on arrive bien au lambda vaut zéro pour que la somme vale zéro ... Il faut que je montre mieux la chose

2)Pour le 2) guitou je ne comprends pas bien ...

Dans , on a les identités :



et



On peut remplacer la variable par une matrice M de ; si M est nilpotente, alors Mⁿ=0 ce qui simplifie un peu les expressions ... et réponds à la deuxième question !

Si l'on compose la relation par , on obtient . Mais on sait et par suite .
Donc notre relation se résume à . Ainsi car

Pour continuer, tu composes ensuite par pour prouver que etc ...

Pour la remarque de Guitou concernant la question 2), il te fait remarquer qu'en appliquant ces relations à et en choisissant comme exposant l'indice de p de nilpotence de N, tu pourras prouver qu'il existe une matrice M telle que et une matrice M' telle que ce qui prouve l'inversibilité ...

Bonsoir Manu04

On peut faire plus rapide pour la 2), en remarquant que 0 est l'unique valeur propre de N, et que 1 et -1 sont les uniques valeurs propres respectives de N+I et N-I.

Mais je doute que ce soit la réponse attendue.