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Matrices & Nombres complexes - Oral X

Posté par
puisea Posteur d'énigmes 04-10-08 à 11:31

Bonjour, je coince sur un sujet d'oral donné à Polytechnique... De l'aide serait la bienvenue
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Soit \Large A\in\mathfrak{M}_n(\mathbb{C})

Montrer que \Large Tr(A^n) tend vers 0 quand n tend vers l'infini si et seulement si les valeurs propres de A sont de modules strictement inférieurs à 1.
_________________________________________________________________


A est trigonalisable.

Soient \Large \lambda_1,...,\lambda_k\in\mathbb{C} les valeurs propres distinctes de A.

Alors \Large Tr(A) = \sum_{i=1}^k\lambda_i et donc \Large Tr(A^n)=\sum_{i=1}^k\lambda_i^n

Ainsi le sens droite-gauche de l'équivalence à montrer est évident...

Pour le sens gauche-droite :

J'ai pensé à considérer l'ordre en module des valeurs propres :

\Large |\lambda_1|=...=|\lambda_{m_1}|<|\lambda_{m_1+1}|=...=|\lambda_{m_2}|<...<|\lambda_{m_{l}}|=...=|\lambda_{m_{l+1}}|

Puis de considérer les valeurs propres sous la forme \Large \lambda_j = \rho_je^{i\theta_j}

On aurait donc :

\Large Tr(A^n) = \rho_1^n\(e^{in\theta_1}+...+e^{in\theta_{m_1}}\)+...+\rho_{m_l}^n\(e^{in\theta_{m_l}}+...+e^{in\theta_{m_{l+1}}}\)

Puis j'ai fait l'hypothèse que \Large \rho_{m_1}\ge 1

Il faudrait que je montre que \Large \(e^{in\theta_{m_l}}+...+e^{in\theta_{m_{l+1}}}\) ne tend pas vers 0 quand n tend vers l'infini pour arriver à une absurdité, mais là je coince...

Des idées ? Une autre manière de faire ?

Merci d'avance

Posté par
Fractalre : Matrices & Nombres complexes - Oral X 04-10-08 à 13:04

Bonjour

Sans rentrer trop dans les détails, il faut factoriser par la plus grande valeur propre à la puissance n.
Du coup, on obtient en facteur des trucs qui tendent vers 0 (pour les valeurs propres de module strictement inférieur à la première), des trucs constants à 1 (pour les valeurs propres égales à la première, et il y en a par définition au moins une) et des trucs de la forme 3$(e^{in\theta}) qui nous embêtent.
Pour montrer que tout ce beau monde ne tend pas vers 0 l'astuce est d'en faire la moyenne de Césaro, si on trouve autre chose que 0 cela voudra dire que la suite de départ ne tendait pas vers 0.
Or, on trouve effectivement que la moyenne de Césaro tend vers autre chose que 0, donc ce qui est en facteur de la plus grande valeur propre à la puissance n ne tend pas vers 0, donc le tout ne tend pas vers 0.

Si tu veux que je formalise un peu plus, n'hésite pas

Fractal

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Matrices & Nombres complexes - Oral X 04-10-08 à 13:13

Salut Fractal

Je veux bien que tu "formalise un peu plus"

Sur le principe de la factorisation, je suis entièrement d'accord, c'est à peu de choses près ce que j'ai fait. Par contre, pour les "trucs qui nous embêtent" je veux bien que tu me montres comment tu fais pour prouver que la moyenne de Césaro tend vers autre chose que 0.

Merci

Posté par
Fractalre : Matrices & Nombres complexes - Oral X 04-10-08 à 13:29

On veut montrer que 3$\Bigsum_{i=1}^k(\frac{\lambda_i}{\lambda_k})^n ne tend pas vers 0, les 3$\lambda_i étant orientés par module croissant.
Il suffit de montrer que 3$\fr1n\Bigsum_{j=1}^n(\Bigsum_{i=1}^k(\frac{\lambda_i}{\lambda_k})^j) ne tend pas vers 0.

Or :
3$\fr1n\Bigsum_{j=1}^n(\Bigsum_{i=1}^k(\frac{\lambda_i}{\lambda_k})^j) = \fr1n\Bigsum_{i=1}^k(\Bigsum_{j=1}^n(\frac{\lambda_i}{\lambda_k})^j) \\ = \fr1n(\Bigsum_{i=1}^{p - 1}(\frac{1-(\frac{\lambda_i}{\lambda_k})^{n+1}}{1-\frac{\lambda_i}{\lambda_k}}) + n(k-p+1)) \\ = \fr1n(\Bigsum_{i=1}^{p - 1}(\frac{1-(\frac{\lambda_i}{\lambda_k})^{n+1}}{1-\frac{\lambda_i}{\lambda_k}})) + k-p+1 en ordonnant les 3$\lambda_i et en choisissant p de telle sorte que \lambda_i = \lambda_k\,\Longleftrightarrow\, i\ge p

Or, tous les \frac{1-(\frac{\lambda_i}{\lambda_k})^{n+1}}{1-\frac{\lambda_i}{\lambda_k}} pour i < p sont bornés (par \frac2{|1-\frac{\lambda_i}{\lambda_k}|} en module, car |\frac{\lambda_i}{\lambda_k}|\le 1), donc en les multipliant par \fr1n cela tend vers 0.

On a ainsi 3$\lim_{n\rightarrow +\infty}\fr1n\Bigsum_{j=1}^n(\Bigsum_{i=1}^k(\frac{\lambda_i}{\lambda_k})^j) = k - p + 1 > 0 car 3$p\le k, donc 3$\fr1n\Bigsum_{j=1}^n(\Bigsum_{i=1}^k(\frac{\lambda_i}{\lambda_k})^j) ne tend pas vers 0.

Fractal

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Matrices & Nombres complexes - Oral X 04-10-08 à 14:19

Ok, je comprends parfaitement ta démarche.

Il me manque juste un truc pour clore le sujet :

Pourquoi y a-t-il par définition au moins une valeur propre égale à la plus grande des valeurs propres ?

Merci

Posté par
Fractalre : Matrices & Nombres complexes - Oral X 04-10-08 à 14:22

La plus grande valeur propre est égale à elle-même

(le "par définition" était peut-être mal choisi ^^)

Fractal

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Matrices & Nombres complexes - Oral X 04-10-08 à 14:24

Effectivement... Je suis bête

Bref ! Merci bien Fractal !

@+

Posté par
Fractalre : Matrices & Nombres complexes - Oral X 04-10-08 à 14:25

De rien

Fractal


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