Bonjour,
j'essaie despespérement de comprendre le corrigé d'un exercice dont voici l'énoncé:
Soit la matrice (cf image attachée):
Calculer A^3-3A^2+3A-I
Le corrigé dis que "Puisque que A et I commutent, on peut écrire :
A^3-3A^2+3A-I= (A-I)^3"
Résultat (et explication) que je ne comprend pas...
C'est pourquoi je requiert de l'aide ^^ Merci d'avance.
Bonjour.
La matrice I étant élément neutre multiplicatif dans M3(IR), on a bien sûr A.I = I.A.
On sait que cette situation est rare dans M3(IR), puisqu'en principe A.B et B.A diffèrent.
Cela étant, la formule du binôme de Newton, ne s'applique qu'à des éléments qui commutent.
En effet : (A + B)² = A² + AB + BA + B² ne s'écrit A² + 2AB + B² que si AB = BA.
De même pour (A + B)3
Mais, comme A et I commutent on a bien (A - I)3 = A3 - 3A² + 3A - I
Dans un anneau quelconque, si a et b commutent(a*b=b*a), alors on a (a+b)^n=somme des(k parmis n)a^k*b^(n-k).
(k allant de 0 à n)
or justement, -I commute avec toutes matrices, en particulier avec A !
et (A-I)^3=A^3+3A²(-I)+3A(-I)²+(-i)^3=A^3-A²+3A-I
(car AI=IA=A)
Bonjour,
Su deux matrices A et B commutent, d'est-à-dire si AB = BA, tu peux développer (A+B)^n en utilisant la bonne vieille formule du binôme. C'est le cas ici, puisque I commute avec toute matrice. Et je te rappelle que (a+b)^3 = a^3 + 3a²b + 3ab² +b^3...
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