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Matrices Semblables
Bonjour à tous !
Je bloque depuis un petit moment sur une question de mon DM de maths
J'ai ma matrice M 0 1 0
0 0 1
1/3 1/3 1/3
Je trouve qu'une valeur propre est 1 et j'ai déterminé le sous espace propre associé ( une droite ici )
et maintenant on me demande de montrer que M est semblable dans M3(
) à une matrice du type
D 1 0 0
0 w 0
0 0 w/ <== ( w barre en fait 
)
sachant que w est un nombre complexe de partie imaginaire strictement positive qui est à préciser aussi !
Voila je suis complétement bloqué
Est ce que le fait de montrer que ces 2 matrices ont le meme polynome caractéristique est suffisant ??
Bonjour,
il suffit de décomposer ton polynôme caractéristique de départ sur C[X].
Comme il est à coefficients réels, et qu'il admet 1 pour seuke racine réelle, ses deux autres racines sont deux complexes conjugués et non réels w et w barre.
Une et une seule de ces deux racines admet une partie imaginaire strictement positive, disons w.
Comme M admet 3 v.p. sur un espace de dimension 3, M est diagonalisable, donc est semblableà une matrice de la forme cherchée.
Pour calculer Im(w), il suffit de se rappeler que la trace et le déterminant d'une matrice sont des invariants de similitude (i.e. qu'ils ne dépendent pas de la matrice semblable considérée). 
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