Trouve une base B = (u,v,w) de telle que la matrice que tu as écrite soit la matrice qui représente A dans la base B.

C'est à dire telle que Au = 0, Av = w et Aw = -v.
_{^{Ces conditions impliquent clairement que u appartient à ker(A) et v et w appartiennent à ker(A²+id)}}

Merci Ulmière, j'ai bien fait ça mais sans connaître grand chose sur A, c'est compliqué…

Et bien si Ax = y, tu appliques encore deux fois A et tu as alors -Ax = A^2y et donc Im(A) est inclus dans Ker(A^2+id).

Réciproquement, si A^2x = -x alors x = A(-Ax) et donc Ker(A^2+id) est inclus dans Im(A).


Donc ça répond à ta question sur les dimensions il me semble.
Tu prends v = Ax n'importe quel élément non nul de l'image de A mais pas dans le noyau (pourquoi ça existe ?), il vérifie automatiquement A^2v = -v.
Tu prends w = Av, et tu auras automatiquement Aw = -v aussi.

Indépendance linéaire : si av+bw = 0 alors aw-bv = 0, en appliquant A.
On en déduit que abv = -b^2w = a^2w, donc a^2+b^2=0 car w n'est pas nul. Donc (v,w) est toujours une base de l'image de A, qui est donc toujours de dimension 2.

Tu complètes cette base par un élément non nul du noyau qui est en Somme directe avec limage et tu obtiens une base de R^3 dans laquelle la matrice de A est celle que tu as écrite.

Merci!
« (pourquoi ça existe ?) »
Parce que le seul élément dans les deux à la fois est le vecteur nul(im A et ker A sont en somme directe).
Par contre, pourquoi
répond à ma question dès ton premier paragraphe?