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Matrices Semblables, sev supplémentaires, et éléments propres
Bonsoir, je sollicite votre aide pour un problème d'algèbre linéaire.
On a une matrice carrée B d'ordre n à coefficients réels. Je dispose des résultats suivants : rg B = rg B² = 2, et en notant g l'endomorphisme de R^n associé à B, Ker g et Im g sont supplémentaires dans R^n.
Et à partir de ces résultats, je n'arrive pas à montrer que B est semblable à une matrice du type tout est nul, et en bas à droite il y a une matrice B' carrée d'ordre 2 inversible. (vous avez remarqué que je ne sais pas écrire les matrices sur le forum, mais j'espère que l'explication est claire, c'est tout con en fait, enfin la question pas la réponse 
).
Ensuite calculer les traces de B et B² (respectivement 0 et 2, j'ai calculé), et en déduire les valeurs propres de B'. Mystère, mystère...
Merci à ceux qui sauront m'aider ! Je suis désemparée en ce début de vacances !
Bonne soirée
Bonsoir.
Les hypothèses te donnent dim(Im(g)) = 2 et dim(Ker(g)) = n-2
Prenons une base de IRn : 
' = (e1...en-2) 
(en-1,en)
où (e1...en-2) est une base de Ker(g) et (en-1,en) une base de Im(g).
Cherche B' = Mat(g,')
salut
du moment où tu sait que les deux sous espace sont supplementaires essaye de deconposer n'importe quel vecteur sur ces espaces et applique les caracteristique de ces sous espace et le fait le rang de est le meme que celui de g
Les images par g des n-2 premiers vecteurs de la base seront effectivement nulles.
Donc, les n-2 premières colonnes de la matrice seront nulles.
En ce qui concerne les deux derniers vecteurs de , comme Im(g) = Im(g²), leurs images par g seront également dans Im(g), donc :
g(en-1) = a.en-1 + b.en
g(en) = c.en-1 + d.en
Finalement :
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