salut

Que sont les p_i,k ?

En fait ma matrice S est stochastique stricte en ligne et les p_i,k sont les coefficients strictements positifs de ma matrice S.

On a 1in

     n
   p_i,k =1
     k=1

Et je suppose que les (xi) sont les composantes de X ?

Oui c'est ça.
Je suis désolée ce n'est peut-être pas assez clair mais c'est vrai que c'est dur de sortir une question de son contexte.

Pas de soucis

en écrivant que et en passant au module tu devrais t'en sortir.

Je suis peut-être un peu fatiguée ou bien j'ai passé trop de temps sur cette question mais je ne vois pas comment je pourrais en déduire la dimension de l'espace propre associée à la valeur propre 1.

Non non c'est moi qui suis fatigué et qui n'avait pas lu ton post en entier, je répondais à la première question

je réfléchis pour la deuxième.

merci beaucoup.

Tu peux prouver que le rayon spectral vaut 1 et donc a fortiori d'après le théorème de Frobenius, 1 est valeur propre simple.

Si tu n'as pas vu ce théorème, on revient à la définition en étudiant Ker(S-I). Sauf erreur, il me semble que la matrice S-I soit à diagonale strictement dominante donc inversible (on refait la preuve si tu ne la connais pas) et par conséquent le noyau est de dimension 1.

En fait j'ai oublié de préciser quelque chose... Dsl. En cours nous n'avons pas du tout abordé les matrices stochastiques nous en sommes à la trigonalisation. En faisant des recherche j'ai trouvé le théorème dont vous me parlait mais ne l'ayant pas vu en cours je ne pense pas avoir le droit de l'utiliser.
Y aurait-il une autre solution?

post croisé dsl

Pardon j'ai dit n'importe quoi

On considère la sous-matrice carrée de S-I à laquelle on a enlevée à la dernière ligne. Elle, elle est inversible car à diagonale strictement dominante et donc le rang de ta matrice vaut n-1.