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matrices : traces, transposées et produit scalaire

Posté par
marinece 11-10-09 à 11:50

Bonjour,

Je n'arrive pas a résoudre un exercice sur les produits scalaires avec des matrices.

L'énoncé nous donne :
A € M3(IR)et 'A est la transposée de A et tr(A) sa trace.
B est une matrice de taille 3.
<A,B> = tr('A B)
La première question est de montrer qu'il s'agit bien d'un produit scalaire.

Merci pour votre aide.

Posté par
infophilere : matrices : traces, transposées et produit scalaire 11-10-09 à 12:02

Bonjour

Et bien un produit scalaire est forme bilinéaire symétrique définie positive.

Vérifie ceci !

Posté par
perroquetre : matrices : traces, transposées et produit scalaire 11-10-09 à 12:05

Bonjour, Marinece

Si on note    C=tAB , on a:

3$ {\rm tr}(C)=\sum_{i=1}^3 c_{i,i}=\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3 a_{j,i}b_{j,i}

Avec, cette égalité, il ne sera pas difficile de montrer que  <.,.>  est une forme bilinéaire symétrique définie positive

Posté par
perroquetre : matrices : traces, transposées et produit scalaire 11-10-09 à 12:05

Devancé
Bonjour, infophile

Posté par
infophilere : matrices : traces, transposées et produit scalaire 11-10-09 à 12:14

Bonjour perroquet

Posté par
marinecere : matrices : traces, transposées et produit scalaire 11-10-09 à 12:39

Merci pour les réponses,
J'ai réussi à montrer:
- la forme
- la symétrie
- la linéarité à droite
Mais je n'arrive pas a montrer la positivité, ni qu'elle est définie

Posté par
perroquetre : matrices : traces, transposées et produit scalaire 11-10-09 à 12:46

3$ <A,A> = \sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3 a_{j,i}^2 \geq 0
Et, si la quantité ci-dessus est nulle, tous les coefficients a_{i,j} sont nuls, donc A est nulle.


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