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Matrices trigonalisables
Salut,
dans un exo, on considère l'action des matrices de Un(C) sur les matrices de Mn(C), définie par A.M=AMA*, où A* est la transconjuguée de A.
Il faut que je montre que toute orbite contient une matrice triangulaire supérieure.
J'ai donc pris une matrice M quelconque. Il faudrait que je trouve une matrice A tq AMA* soit triangulaire sup.
J'ai commencé par trigonaliser M, ce qui donne M=PTP^-1, avec P dans GLn(C), puis j'ai donné une décomposition polaire de P du type P=OS où O est dans Un(C) et S dans H^++, j'ai ensuite U(n)-diagonalisé S pour avoir S=UDU^-1 où U est dans U(n)...
Bref j'arrive à UD-1U-1O-1MOUDU-1=T. Il suffirait que je montre que UD-1U-1O-1
Un(C) mais je suis pas sûr que ce soit le cas.
Y a t-il plus simple ? C'est la première question d'un exo alors bon...
Merci d'avance !
Bonjour
Je n'ai pas compté toutes tes matrices... En fait ce n'est pas un résultat d'algèbre linéaire mais d'algèbre hermitienne. Si tu regardes la forme hermitienne associée à M et si tu la décomposes (à la manière de Gauss) tu trouves une base sur laquelle la matrice de cette forme est triangulaire.
non, M n'est a priori pas hermitienne.
Mais en fait c'est bon : j'ai appris aujourd'hui (il était temps) que toute matrice complexe était trigonalisable EN BASE ORTHOGONALE. D'où le résultat.
Oui c'est vrai, j'avais oublié ce théorème (de Schur?)! Et c'est même vrai en base orthonormée me semble-t-il non?
d'après wikipedia, ça s'appelle "théorème de trigonalisatopn de schur", parce que le "théprème de schur" est aussi sur wikipedia mais n'a rien à voir.
En tout cas, ce que tu faisais dans ton premier message ne pouvait pas marcher me semble-t-il:
tu cherchais à prouver que toute matrice triangulaire supérieure semblable à M l'était via une matrice de passage unitaire, ce qui est faux je pense.
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