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Matrices, valeurs propres, suites

Posté par
gui_tou 28-06-08 à 15:56

Bonjour

Je suis tombé sur un ptit sujet de concours de cette année que j'ai trouvé intéressant, j'ai essayé de répondre aux premières questions mais je ne suis âs sûr de mes réponses.
Merci de me filer un coup de main !


Citation :
On considère la matrice 3$M=\(\array{0&0&-1\\0&1&1\\1&1&-1\). On désigne par 3$I la matrice unité de 3$\mathcal{M}_3({\bb R}).

1. Montrer que 3$M possède une unique valeur propre réelle 3$\lambda, et que 3$\lambda est comprise entre 1 et 2.

2. Soit 3$\sigma une valeur propre complexe, non réelle, de 3$M. Calculer 3$\lambda|\sigma|^2^ et comparer les réels 3$|\sigma|, 3$\lambda et 3$\fr{1}{\sqrt2

3.a) Montrer que 3$I, 3$M et 3$M^2 sont linéairement indépendants dans l'espace vectoriel 3$\mathcal{M}_3({\bb R}).

3.b) Calculer 3$M^3 et l'exprimer comme combinaison linéaire à coefficients entiers de 3$I et 3$M.

3.c) En déduire qu'il existe deux entiers 3$\alpha et 3$\beta tels que, pour tout entier 3$n>0, 3$M^{n+3}\,=\,\alpha M^{n+1}\,+\,\beta M^n.
(Par convention 3$M^0 = I et 3$M^1 = M.)

Pour tout entier 3$n > 0, on pose 3$u_n = Tr(M^n) et 3$v_n = cos(\pi u_n).

4.a) Pour 3$0\le n\le10, calculer 3$u_n et 3$v_n.

4.b) Montrer que la suite 3$(v_n)_{n\in\bb N est périodique, et préciser sa période.

4.c) Montrer que la suite 3$(w_k)_{k\in\bb N définie par 3$w_k = \Bigsum_{n=0}^kv_n n'est pas bornée.

5.a) Exprimer 3$u_n en fonction de 3$\lambda, 3$\sigma et 3$n.

5.b) La suite 3$(y_k)_{k\in\bb N définie par 3$y_k=\Bigsum_{n=0}^k \cos(\pi\lambda^n) est-elle bornée ?


Jusqu'à la 4.b) ça va, mais après ça se corse pas mal ^^

Ce que je dirais :

1) Le polynôme caractéristique de 3$M est 3$p(X)=\det(XI-M)=\det\(\array{X&0&-1\\0&X-1&1\\1&1&X-1\)=\fbox{p(X)=X^3-X-1.

Les 3 racines complexes de 3$X^3-X-1 sont exactement les valeurs propres de 3$M.

Je définis la fonction 3$f par 3$\forall x\in{\bb R},\;f(x)=x^3-x-1. Ainsi 3$f'(x)=3x^2-1 et 3$f'(x)=0\Leftright\{x=\fr{1}{\sqrt3}\\\rm{ou}\\x=-\fr{1}{\sqrt3

Or 3$\|f\(\fr{1}{\sqrt3}\)<0\\f\(-\fr{1}{\sqrt3}\)<0 donc il existe une unique valeur réelle \lambda telle que 3$f(\lambda)=0. De plus, 3$f(1)<0<f(2) donne 3$\lambda\in]1,2[.

3$\rm\fbox{Conclusion : M possede une unique valeur propre reelle \lambda, avec 1<\lambda<2

2) Si 3$\sigma est racine de 3$X^3-X-1 alors 3$\bar{\sigma l'est aussi. Les relations coeff-racines donnent 3$\lambda.\sigma.\bar{\sigma}=\fbox{\lambda|\sigma|^2=-\fr{-1}{1}=1

De plus, la condition 3$1<\lambda<2 donne 3$\fr12<^|\sigma|^2<1 et 3$\fbox{\fr{1}{\sqrt2}<|\sigma|<1

3.a) C'est immédiat : on suppose uI+vM+wM² = 0 et on montre que u=v=w=0

3.b) On a facilement 3$\fbox{M^3=M+I (de toute façon le poly caractéristique est annulateur donc 3$M^3-M-I=0 sans calculs, non ?)

3.c) Les réels 3$\alpha et 3$\beta sont les mêms pour tout 3$n\in{\bb N, donc pour 3$n=0. Donc 3$\alpha=\beta=1.
Et 3$\fbox{\forall n\in{\bb N},\;M^{n+3}\,=\,M^{n+1}\,+\,M^n

4.a)
3$\rm u_0=Tr(M^0)=Tr(I)=3 \\ u_1=Tr(M)=0 \\ u_2=Tr(M^2)=2 \\ u_3=Tr(M^3)=Tr(M+I)=3 \\ u_4=Tr(M^4)=Tr(M^2+M)=2 \\ u_5=Tr(M^5)=Tr(M^3+M^2)=5 \\ u_6=Tr(M^6)=Tr(M^4+M^3)=5 \\ u_7=Tr(M^7)=Tr(M^5+M^4)=7 \\ u_8=Tr(M^8)=Tr(M^6+M^5)=10 \\ u_9=Tr(M^9)=Tr(M^7+M^6)=12 \\ u_{10}=Tr(M^{10})=Tr(M^8+M^7)=17                  3$\rm v_0=\cos(3\pi)=-1 \\ v_1=\cos(0\pi)=1 \\ v_2=\cos(2\pi)=1 \\ v_3=\cos(3\pi)=-1 \\ v_4=\cos(2\pi)=1 \\ v_5=\cos(5\pi)=-1 \\ v_6=\cos(5\pi)=-1 \\ v_7=\cos(7\pi)=-1 \\ v_8=\cos(10\pi)=1 \\ v_9=\cos(12\pi)=1 \\ v_{10}=\cos(17\pi)=-1

4.b) On voit que la suite 3$(v_n) est périodique de période 7, mais comment le montrer ? En faisant une grosse récurrence sur la parité de Tr(Mn) ?


Merci de m'avoir lu

PS : Ou bien si vous avez directement le corrigé de X PC 2008 ...

Posté par
infophilere : Matrices, valeurs propres, suites 28-06-08 à 16:15

Salut

Par linéarité de la trace on montre que 3$ \rm u_{n+7}=2(u_{n+1}+u_{n+2})+u_n

Ca peut servir ^^

Posté par
infophilere : Matrices, valeurs propres, suites 28-06-08 à 16:17

Ah ben oui ça règle le problème par 2\pi périodicité du cosinus.

Posté par
infophilere : Matrices, valeurs propres, suites 28-06-08 à 16:17

Je te laisse continuer mon guigui

Posté par
gui_toure : Matrices, valeurs propres, suites 28-06-08 à 16:20

salut kévin

Ok, donc on a fastochement 3$v_{n+7}=\cos\(\pi(2(u_{n+1}+u_{n+2})+u_n)\)=\cos(\pi u_n)=v_n !

Mais comment tu as trouvé la relation 3$ \rm u_{n+7}=2(u_{n+1}+u_{n+2})+u_n ?

Posté par
infophilere : Matrices, valeurs propres, suites 28-06-08 à 16:21

Utilise la relation trouvé à la 3.c)

Posté par
gui_toure : Matrices, valeurs propres, suites 28-06-08 à 16:29

okédac j'ai trouvé !

La suivante maintenant

merci

Posté par
gui_toure : Matrices, valeurs propres, suites 28-06-08 à 16:47

Citation :
4.c) Montrer que la suite 3$(w_k)_{k\in\bb N définie par 3$w_k = \Bigsum_{n=0}^kv_n n'est pas bornée.


En remarquant que 3$w_6 = \Bigsum_{n=0}^6v_n=-1, la 7-périodicité de 3$(v_n) donne que 3$\forall i\in{\bb N},\;\Bigsum_{n=7i}^{7i+6}v_n=-1

Comment montrer proprement que la suite 3$(w_k)_{k\in\bb N n'est pas bornée ?

Posté par
1 Schumi 1re : Matrices, valeurs propres, suites 28-06-08 à 16:53

Salut,

Ta remarque ne suffit elle pas à prouver que w_(7k-1)=-k?

Posté par
gui_toure : Matrices, valeurs propres, suites 28-06-08 à 16:56

Méthode bourrine :

3$w_k=-E(\fr{n}{7})+\Bigsum_{n=j}^kv_n   où   3$\fbox{0\le j=n-E(\fr{n}{7})<7

Lorsque 3$n\to+\infty, le terme 3$-E(\fr{n}{7}) tend vers 3$-\infty et 3$-6\le\Bigsum_{n=j}^kv_n\le6

Donc 3$\fbox{w_n\longright_{n\infty}-\infty

Posté par
gui_toure : Matrices, valeurs propres, suites 28-06-08 à 17:02

Hello Ayoub

Si .. mais je suis mal à l'aise avec ça On voit qu'une suite extraite de wn tend vers -oo, mais les autres ?

Mon dernier post est une horreur :

3$w_k=-E(\fr{k}{7})+\Bigsum_{n=j}^kv_n   où  3$\fbox{j=k-r\\0\le k-j<7 avec r le reste de la div euclidienne de k par 7

Posté par
1 Schumi 1re : Matrices, valeurs propres, suites 28-06-08 à 17:06

Yo Guillaume

Tu as une sous-suite qui diverge vers plus l'infini, ça suffit pour prouver que la suite n'est pas bornée. Ca veut pas dire qu'elle diverge elle même vers -oo mais ça répond à la question. Si une suite est bornée, toute ses sous suites le sont également, non?

Posté par
gui_toure : Matrices, valeurs propres, suites 28-06-08 à 17:08

Oui tu as raison

Je réfléchis à la 5.a)

Merci vous deux

Posté par
gui_toure : Matrices, valeurs propres, suites 29-06-08 à 20:07

Mini up

Posté par
Fractalre : Matrices, valeurs propres, suites 30-06-08 à 14:39

Salut

Je dis peut-être une bêtise, mais on sait que deux matrices semblables ont même trace, et puisque M a trois valeurs propres distinctes (dans C) elle est diagonalisable (dans C).
Donc 3$u_n = \lambda^n + \sigma^n+\bar{\sigma}^n

Fractal

Posté par
gui_toure : Matrices, valeurs propres, suites 03-07-08 à 12:07

Salut Guillaume

Non non tu ne dis pas de bêtises ; pour te dire j'ai même compris ton raisonnement (pourtant c'est pas courant )

Une idée pour la suivante ?

5.b) La suite 3$(y_k)_{k\in\bb N définie par 3$\Bigsum_{n=0}^k\cos(\pi\lambda^n) est-elle bornée ?

Selon Maple, elle divergerait vers 3$-\infty. La démo est hors de ma portée ?

Merci

Posté par
gui_toure : Matrices, valeurs propres, suites 04-07-08 à 19:49

up

Posté par
gui_toure : Matrices, valeurs propres, suites 28-07-08 à 21:18

Entre temps j'ai demandé sur forum.prepas.org et j'ai eu ma réponse ^^

En fait c'est tout bête.

On montre facilement que la suite 3$(y_k)_{k\in\bb N définie par 3$y_k=\Bigsum_{n=0}^k\cos(\pi\lambda^n) est de même nature que la suite
3$(y_k)_{k\in\bb N définie par 3$w_k = \Bigsum_{n=0}^kv_n=\Bigsum_{k=0}^n\cos(\pi u_n)

Avec du recul, ça se voit, puisque 3$u_n = \lambda^n + \sigma^n+\bar{\sigma}^n et de plus 3$|\sigma|^n et 3$|\bar{\sigma}|^n tendent vers 0 quand 3$n\to+\infty

Soit 3$n\in\bb N

3$z_n=\cos(\pi u_n)-\cos(\pi \lambda^n) \\ z_n=-2\sin\[\fr{\pi}{2}(2\lambda^n+\sigma^n+\bar{\sigma}^n)\]\sin\[\fr{\pi}{2}(\sigma^n+\bar{\sigma}^n)\]


Les majorations 3$|sin u|\le |u| et 3$\sin u\le 1 valables pour tout 3$u réel donnent :


3$|z_n|\ \le\ 2\times\sin\[\fr{\pi}{2}(2\lambda^n+\sigma^n+\bar{\sigma}^n)\]\times\|\fr{\pi}{2}(\sigma^n+\bar{\sigma}^n)\| \\ |z_n|\ \le\ \pi\times(|\sigma|^n+|\bar{\sigma}|^n)

Avec l'encadrement 3$\fbox{\fr{1}{\sqrt2}<|\sigma|<1, on a que   3$\rm\blue\fbox{la somme des \sigma^n converge absolument

3$\magenta\rm\fbox{Donc la somme des z_n aussi, 3$\rm\fbox{donc en particulier \Bigsum z_n est bornee egale a un reel A

Donc au final 3$\Bigsum_{n=0}^k\cos(\pi \lambda^n)\ =\ \Bigsum_{n=0}^k\cos(\pi u_n)\ +\ A

3$\rm\red\fbox{\fbox{Puisque le terme de droite diverge, la suite (y_k)_{k\in{\bb N}} diverge egalement.

Posté par
gui_toure : Matrices, valeurs propres, suites 28-07-08 à 21:22

Merci à dSP et HyneX


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