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Matrices / vecteurs propres
Bonjour,
Je suis en prépa HEC et je peine à trouver la réponse à certaines questions d'un dm.
Voici l'énoncé:
On a l'endomorphisme f de R3 de matrice A dans la base canonique de R3.
On a P une matrice inversible telle que P= (L1: 1 0 0; L2: 0 1 -1; L3: -1 0 1)
On a A une matrice telle que A= (L1: -1 0 0 ; L2: -8 0 -8 ; L3: 9 0 8)
Dans les questions précédentes, on a: déterminé une base de Im(f) et Ker(f), montrer que P inversible et calculer son inverse, déterminer les valeurs propres et sous espaces propres de f.
Je bloque à ce niveau:
1. On s'intéresse aux solutions de l'équation matricielle M²M (M au cube)=A où M est une matrice carrée réelle d'ordre 3.
a) Montrer que si M vérifie la relation M²M=A alors MA=AM (pas de problème pour cette question)
b) On pose: X1= (L1: 1 ; L2: 0 ; L3: -1) , X2= (L1= 0 , L2: 1 ; L3: 0) et
X3= (L1: 0 ; L2: -1 ; L3: 1), si la matrice M vérifie la relation M²M (M au cube)=A, déduire de la question précédente que X1, X2 et X3 sont des vecteurs propres de M.
c) En déduire l'existence d'une matrice diagonale M' d'ordre 3 telle que M=PM'P^-1
Quelle relation a-t-on entre les matrices M' et A'
d) Conclure
Je ne vois en fait pas le rapport entre la question 1.a) et la question 1.b) qui je pense me bloque pour finir l'exercice.
Merci de votre aide,
Cordialement.
bonjour,
on sait que donc si X est un vecteur propre pour A relativement à la valeur propre
est vecteur propre pour A relativement à la valeur propre
or dans cet exercice A admet 3 valeurs propres distinctes ,les sous espaces propres sont donc des droites vectorielles, ce sont les droites engendrées par est colinéaire à
donc X_1 est vecteur propre pour M....
2)est donc une base de
formée de vecteurs propres de M ,si je note g l'endomorphisme de
dont la matrice est M dans la base canonique alors la matrice de g dans la base
est une matrice diagonale M' et l'on a
Merci encore des réponses qui suivirent. Par contre pour les matrices M solutions, on ne demande pas de les trouver non? On en a pas besoin? A moins que je sois à côté de la plaque 
je ne sais pas, tu dis au début que l'on s'intéresse aux solutions de l'équation M3=A
on a vu que
est la matrice diagonale
sisont les valeurs propres de M associées aux vecteurs propres
est la matrice diagonale
on a donc d'où
d'où
..
A oui en effet, je n'avais pas fait attention à ca, je ne pensais pas que je devais calculer la matrice M'^3. Il fallait surement le mettre dans la conclusion, ce que je n'ai pas fait mais ca doit pas etre trop grave, je ne vais pas perdre trop trop de points 
En tout cas merci de tes réponses précédentes, bonne journée
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