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mesure de Borel n'est pas complete

Posté par
brahim121985 11-04-09 à 01:47

bjr,
je veux montrer que la mesure de Borel sur \mathbb{R} n'est pas complete, j'ai donc besoin d'existence d'un ensemble non borélien  inclus dans un borélien de mesure nulle.

Posté par
Tigweg Correcteurre : mesure de Borel n'est pas complete 11-04-09 à 11:13

Bonjour,

ce que tu souhaites prouver revient à construire un ensemble non borélien.Il y a une construction classique qui consiste à considérer (via l'axiome du choix) un ensemble 4$\displaystyle\blue V de représentants de chaque classe d'équivalence de 4$\displaystyle\blue \mathbb{R}/\mathbb{Q}.

Un tel 4$\displaystyle\blue V peut se choisir dans 4$\displaystyle\blue[0;1] , et la classe de chaque 4$\displaystyle\blue v de 4$\displaystyle\blue V est l'ensemble 4$\displaystyle\blue v + \mathbb{Q}.

Supposons 4$\displaystyle\blue V mesurable.


Notons 4$\displaystyle\blue(r_k) une suite décrivant l'ensemble des rationnels compris entre 0 et 1, et soit 4$\displaystyle\blue V_k = r_k + V pour tout 4$\displaystyle\blue k entier.Alors:




1)

Citation :
Pour tout 4$\displaystyle\blue k entier, l'ensemble 4$\displaystyle\blue V_k est une partie mesurable de 4$\displaystyle\blue [0;2].






2)
Citation :
Les 4$\displaystyle\blue V_k sont deux à deux disjoints


Sinon, on pourrait écrire 4$\displaystyle\blue x + r = y + r' avec 4$\displaystyle\blue r et 4$\displaystyle\blue r' deux rationnels distincts, et 4$\displaystyle\blue x et 4$\displaystyle\blue y dans 4$\displaystyle\blue V ;

alors, en supposant 4$\displaystyle\blue x \ge y , 4$\displaystyle\blue x - y est un rationnel compris entre 0 et 1, ce qui entraîne que 4$\displaystyle\blue x et 4$\displaystyle\blue y sont dans la même classe et entre 0 et 1:

par définition de 4$\displaystyle\blue V , ils sont donc égaux, d'où 4$\displaystyle\blue r = r' , contradiction.


3)
Citation :
Leur réunion, qui d'après la première remarque est contenue dans 4$\displaystyle\blue [0;2] , contient par ailleurs le segment 4$\displaystyle\blue [0;1]


En effet, tout réel 4$\displaystyle\blue y de 4$\displaystyle\blue [0;1] est dans une des classes modulo 4$\displaystyle\blue\mathbb Q , donc s'écrit 4$\displaystyle\blue x + r avec 4$\displaystyle\blue x dans 4$\displaystyle\blue V et 4$\displaystyle\blue r rationnel, 4$\displaystyle\blue r = r_k , autrement dit 4$\displaystyle\blue y est dans 4$\displaystyle\blue V_k) , donc la mesure de la réunion des 4$\displaystyle\blue V_k est supérieure ou égale à 1.




Par disjonction des 4$\displaystyle\blue V_k , on a alors:



4$\displaystyle\red\fbox{1\le \mu(\bigcup_{k\in\mathbb{N}}V_k)=\Bigsum_{k\in\mathbb{N}}\mu(V_k)=\Bigsum_{k\in\mathbb{N}}\mu(V)}\le 2


ce qui est absurde, la somme d'une série de terme général constant ne pouvant être que nulle ou infinie.

Cela prouve donc que ]4$\displaystyle\blue V n'est pas mesurable.


Le fait que la tribu borélienne de ]4$\displaystyle\mathbb{R} n'est pas complète est alors trivial en considérant, pour tout borélien ]4$\displaystyle\blue B non vide, borné (ça n'enlève rien à la généralité)et de mesure nulle, le nouvel ensemble 4$\displaystyle\blue V constitué de tous les éléments de 4$\displaystyle\blue B qui ne sont pas dans une même classe modulo 4$\displaystyle\blue\mathbb Q , et en refaisant un raisonnement analogue au précédent.

Posté par
Tigweg Correcteurre : mesure de Borel n'est pas complete 11-04-09 à 15:05

Je reviens sur la fin de mon message, qui n'est pas correcte.

Il existe en effet des boréliens de mesure nulle qui n'ont aucune sous-partie non borélienne, comme les singletons!

En fait ce que tu dois montrer n'est pas ce que tu disais au départ, mais plutôt qu'il existe un borélien ayant une partie non borélienne.[0;1] en est un exemple comme je te l'ai montré.

Posté par
Tigweg Correcteurre : mesure de Borel n'est pas complete 12-04-09 à 20:34

Toujours là, brahim121985?


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