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methode sur les matrices d'endomorphisme

Posté par
fabulous 09-01-09 à 20:06

bonjour j'ai besoin d'aide pour une question mais c'est surtout d'une methode générale dont j'ai besoin les calculs je vous les epargne pour l'instant

alors l'énoncé est:
soit f l'endomorphisme de 4 dont la matrice dans la base canonique est
1 0 0  0
-1 4 1 -2
2 1 2 -1
1 2 1  0
on admettra que son polynome caracteristique est (X-1)(X-2)3

1; soit v=e1-e3 montrer que µf,v est de degré 4 en deduire la valeur du polynome minimal : cette question je l'ai resolue on trouve que le polynome minimal est egal au polynome caracteristique

2. determiner les dimensions des sous espaces vectoriels ker(f-Id) Ker(f-2id) ker(f-2id)² ker(f-2id)3 (on pourra utilisr la données des polynomes caracteristique et minimal de f ):
j'ai reussi a repondre a cette question mais en calculant les matrices leur rang et par le theoreme du rang je trouve le resultat on trouve
ker(f-Id)=1 Ker(f-2id)=1 ker(f-2id)²=2 ker(f-2id)3=3
je voulais savoir si vous auriez une autre methode et savoir comment utiliser la donnée des poly caracteristique et minimal?

3. verifier que e2 ker(f-2id)3
et que e2 ker(f-2id)²:
ca, c'est bon

4; determiner une base de 4 dans laquelle la matrice de l'endomorphisme f est
1 0 0 0
0 2 1 0
0 0 2 1
0 0 0 2
voila c'est surtout ici que j'ai besoin de vous pour savoir comment faire ?

merci d'avance !!

Posté par
antho07re : methode sur les matrices d'endomorphisme 09-01-09 à 23:50

Pour le premier vecteur il suffit de prendre un vecteur de l'espace propre associé à la valeur propre 1.
(Notons le f)

Ensuite on va travailler sur l'espace caracteristique associé à la valeur propre 2.
Je note A la matrice

On prend un vecteur e_{3} dans ker((A-2I)^{3}) mais pas dans ker((A-2I)^{2})

On prend ensuite e_{2}=(A-2I)(e_{3}) et e_{1}=(A-2I)(e_{2})

On prend enfin comme base la base

(f,e_{1},e_{2},e_{3})

En effet,

(A-2I)(e_{1})=(A-2I)^{3}(e_{3})=0 donc A(e_{1})=2 e_{1} on a bien la deuxieme colonne

Ensuite

(A-2I)(e_{2})=e_{1} donc A(e_{2})=e_{1}+2e_{2}   on a bien la troisieme colonne voulue

et finalement on a aussi

A(e_{3})=2e_{3}+e_{2}


La matrice obtenue dans cette base est bien la matrice voulue.

Posté par
fabulousre : methode sur les matrices d'endomorphisme 10-01-09 à 00:03

merci!
pourquoi prends tu ces vecteurs la en particulier ? quel a été ton raisonement general?

Posté par
antho07re : methode sur les matrices d'endomorphisme 10-01-09 à 00:23

C'est la méthode de construction d'une base pour obtenir la réduite de Jordan d'une matrice.
En faite,
soit u un endormorphisme, x un vecteur
si n est le plus petit entier tels que

u^{n}(x)=0 alors la famille \left( x,u(x),u^{2}(x), \ldots, u^{n-1}(x) \right) est libre (cela peut se montrer par récurrence).

Dans ton cas,

(A-2I)(e_{3})^{3}=0 et 3 est le plus petit entier qui vérifie cela (on le choisit pour ça)

Donc je note u=A-2I pour simplifier les notations.
La famille (e_{3},u(e_{3}),u^{2}(e_{3})) est libre.

Preuve :

On prend une combinaison lineaire nulle

\lambda_{1}e_{3}+\lambda_{2}u(e_{3})+\lambda_{3}u^{2}(e_{3})=0

on applique deux fois u
il reste

\lambda_{1}e_{3}=0 donc \lambda_{1}=0

il reste


\lambda_{2}e_{2}+\lambda_{3}e_{3}=0
on applique u ....




Dans la base (u^{2}(e_{3}),u(e_{3}),e_{3}))   (l'ordre est important) la matrice u vaut donc

\begin{pmatrix} 0&1&0 \\ 0&0&1\\0&0&0 \end{pmatrix}

Donc la matrice A restreint au sous espace caracteristique vaut

\begin{pmatrix} 2&1&0 \\0&2&1 \\ 0&0&2 \end{pmatrix}


L'existence d'une réduite de Jordan pour tout endomorphisme(dimension finie) dont le polynome caracteristique est scindé, l'unicité de celle ci (à permutation des blocs près) et le fait que 2 matrices sont semblables si et seulement si elles ont la mêmes réduites de Jordan est une preuve longue et fastidieuse

Posté par
kent34tentative de réponse 10-01-09 à 01:02

slt !!
donc g essayé avec la methode d'antho07 j'aimerais savoir si c'est bon !!
* déjà kan antho07 dit e3 pour nous ds notre exo e3 c'est notre e2 de la base canonique
donc on a déjà le vecteur (0 1 0 0 )
* puis notons e2=(A-2I)(e3)=( 0 2 1 2 )
* puis notons e1=(A-2I)(e2)=( 0 1 0 1)
* puis il faut trouver le vecteur de l'espace propre associé a la valeur propre 1
  on resoud Av=1v on a un systeme
  x=x
  -x+4y+z-2t=y
  2x+y+2z-t=z
  x+2t+z=t
  je trouve donc a la fin le vecteur notons u=( 1 1 -4 -1)
la reponse que j'ai trouvé a notre exercice est donc
    la base ( (1 1 -4 -1), (0 1 0 0), (0 2 1 2), (0 1 0 1) )
si quelqu'un pouvait me dire si cela est bon MERCI BEAUCOUP

Posté par
antho07re : methode sur les matrices d'endomorphisme 10-01-09 à 01:23

Oui mais dans cette base la matrice est

\begin{pmatrix} 1& 0 &0 &0 \\ 0 &2 & 0 &0 \\ 0 &1 &2 &0 \\0 &0 &1&2 \end{pmatrix}


L'ordre des vecteurs est important.

Inverse le deuxieme et le 4 eme dans ta base et c'est bon tu obtiens la matrice recherchée

Posté par
fabulousre : methode sur les matrices d'endomorphisme 10-01-09 à 12:46

merci beaucoup j'ai compris pour cet exercice.
le probleme c'est que quand j'essaie de l'aplliquer a un autre je n'y arrive pas j'ai essayer d'appliquer le meme raisonnement
cette fois ma matrice  dans la base canonique est
0,1,1,1
0,0,-1,0
0,-1,0,0
1,-1,-1,0
le polynome caracteristique est (X²-1)=(X-1)²(X+1)²
dim(ker(f-Id))=2
dim(ker(f+id))=1
polynome minimal= (X-1)(X+1)²
et on me demande de trouver une base dans laquelle l'endomorphisme a la matrice
1,0,0,0
0,1,0,0
0,0,-1,1
0,0,0,-1

j'ai calculer les vecteurs propres associé a la valeur propre 1
j'en ai trouver 2 donc je pense que ca fait mes deus premieres colonnes de la matrice
par contre j'arrive pas a etudier le sous-espace caracteristique  associé a la valeur propre -1
et tout ce que j'essaie ca me donne pa la bonne matrice
j'ai remarqué que en bas il ya un bloc de jordan..

Posté par
antho07re : methode sur les matrices d'endomorphisme 10-01-09 à 12:51

Prend un vecteur e dans ker((f+1)^{2}) mais pas dans ker (f+1)

puis prend e'=(f+Id)(e)

la base final de ce sous espace sera

(e',e)

Posté par
fabulousre : methode sur les matrices d'endomorphisme 10-01-09 à 13:22

est ce que tu as une methode particuliere pour arriver a trouver ce e ? ou eske tu fais plusieurs essai au pif?

Posté par
fabulousre : methode sur les matrices d'endomorphisme 10-01-09 à 13:28

c'est bon j'ai reussi a en trouver un

Posté par
kent34re 10-01-09 à 14:47

slt antho07
tu as dit precedemment
"Prend un vecteur e dans ker((f+id)²)  mais pas dans ker (f+1)"
le probleme c'est que je trouve ke les vecteurs ki appartiennent a ker((f+id)²) sont les memes ki appartiennent a ker(f+id)

Posté par
antho07re : methode sur les matrices d'endomorphisme 10-01-09 à 17:05

A+I=\begin{pmatrix}1 &1 &1 &1 \\ 0 &1 &-1 &0 \\ 0 &-1 &1 &0 \\1 &-1 &-1 &1 \end{pmatrix}



(A+I)^{2}=\begin{pmatrix}2 &0 &0 &2 \\ 0 &2 &-2 &0 \\ 0 &-2 &2 &0 \\2 &0 &0 &2 \end{pmatrix}


On prend par exemple e=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\1 \\ -1 \end{pmatrix}

Posté par
antho07re : methode sur les matrices d'endomorphisme 10-01-09 à 17:06

Pardon A c'est f bien sur

Posté par
kent34re 10-01-09 à 18:06

kan je fer le ker(f-id) je trouve (1 0 0 -1) (0 1 1 0)
kan je fer le ker((f-id)²) je trouve aussi (1 0 0 -1) (0 1 1 0 )
comment tas fer pr trouver ton e ??

Posté par
antho07re : methode sur les matrices d'endomorphisme 10-01-09 à 19:29

J'ai jamais dit qu'il fallait trouver un vecteur dans ker((f-I)^{2}) privé de ker(f-I)

Tu as donnée deux vecteurs libres dans ker (f-I).
Que veux-tu de plus?

Posté par
kent34re 10-01-09 à 19:51

nan excuse je me suis juste tromper en ecrivant je voulais dire que je trouve les memes vecteurs pour
ker((f+id)²) et ker(f+id)
alors comment je fer pour trouver un vecteur de ker((f+id)²) prive de ker(f+id)

Posté par
antho07re : methode sur les matrices d'endomorphisme 10-01-09 à 20:02

ker(f+I)=Vect \left( \begin{pmatrix}-1 \\0 \\0 \\1 \end{pmatrix} \right)


(ker(f+I)^{2})=Vect \left( \begin{pmatrix}-1 \\0 \\0 \\1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 \\1 \\1 \\0 \end{pmatrix} \right)

Mon vecteur je l'avais trouvé en tatonnant, rapidement on voit que la difference majeur entre A+I et (A+I)² est la presence des 1 premiere ligne derniere ligne sur les colonnes du milieu.
En bidouillant un peu j'en ai trouver un.


Les bases des espaces que je viens donné je les ai trouvé avec maple, pas d'erreur possible à priori


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