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Niveau Licence Maths 1e ann
Méthodes de Jacobi et Gauss Seidel pour la résolution de système
Posté par slinette
Bonjour,
J'ai le système linéaire Ax=b à résoudre avec:
A=
| 1 | a | a |
| a | 1 | a |
| a | a | 1 |
On me demande alors de trouver pour quelles valeurs de a, la méthode de Gauss Seidel converge plus vite que celle de Jacobi.
Je calcule donc les matrices d'itération associées à chacune des méthodes puis cherche à calculer leur rayon spectral. Je pourrai alors comparer les 2 rayons et en déduire ce qu'il m'est demandé.
Problème : Je n'arrive pas à calculer les valeurs propres de la matrice de Gauss Seidel ... Pas de simplification lors du calcul...
Pourriez-vous m'éclairer ?
Merci beaucoup
PS: Je peux vous donner les matrices d'itération et le polynome permettant le calcul des valeurs propres de la méthode de Gauss ( par contre je ne sais pas les mettre en forme sur le forum...)
Salut !
Juste pour être sûr : si tu a A=D-U-L (U=upper, L=lower), la matrice pour Jacobi est bien U+L (D étant l'identité, son inverse aussi) ?
Et la matrice pour GS est inv(D-U)*L ?
Ton problème étant de calculer les v.p. de cette dernière matrice ? (j'ai tout compris ?)
Oui c'est bien celà.
En fait pour la matrice de jacobi j'ai trouvé :
| 0 | -a | -a |
| -a | 0 | -a |
| -a | -a | 0 |
D'où un rayon spectral |-2a|
Pour Gauss Seidel :
| 0 | -a | -a |
| 0 | a² | a²-a |
| 0 | a²-a3 | 2a²-a3 |
Je recherche donc les valeurs propres lamba de cette matrice, c'est à dire les lambda annulant le polynôme :
-lambda²+lambda(3a²-a3)-a3
Et en fait, c'est la résolution de ce simple polynome du second degré en lambda qui me pose problème ... Peut être ai-je fait une erreur de calcul auparavant car les solutions de cette équation ( ie les valeurs propres que je recherche) ne se simplifient pas !
Pourriez-vous vérifier si je ne me suis pas trompée ? Si non, trouvez-vous des valeurs propres de forme "simple" ?
Sans une forme simplifiée je ne vois pas comment comparer les rayons spectraux des 2 méthodes ...
Merci !!
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