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Mettre un complexe sous forme d'une somme double

Posté par
JohnDoe 20-09-09 à 21:19

Bonjour,
La première question du problème que je cherche à résoudre est d'écrire |Z|² sous la forme d'une somme double, où Z = \sum_{k=0}^{n-1}\,\omega^{k^2} avec n \in \N^*, et \omega = e^{2i\pi/n}.
Mais je ne sais pas par où prendre tout ceci, donc je suis bloqué pour la suite de l'exercice... Quelqu'un aurait-il une piste ?

Merci d'avance !

Posté par
freniclere : Mettre un complexe sous forme d'une somme double 20-09-09 à 21:31

Bonjour

|Z|^2 = Z \bar{Z}
En développant, cela fait une somme double.

Cordialement
Frenicle

Posté par
JohnDoere : Mettre un complexe sous forme d'une somme double 20-09-09 à 22:14

Merci beaucoup frenicle,
J'ai donc obtenu la double somme, mais il me semble que pour la calculer il faille regrouper les termes suivant les "diagonales", mais je ne sais pas le formaliser (on n'a pas vu cette méthode en cours).
Je demande donc votre aide une fois de plus...

Posté par
JohnDoere : Mettre un complexe sous forme d'une somme double 20-09-09 à 22:36

Je n'ai rien dit, je viens de trouver par moi-même en faisant un dessin.
Dans le cas d'un tableau "carré", pour avoir les diagonales il suffit de sommer les termes d'indices i et j tels que i=j.

Posté par
JohnDoere : Mettre un complexe sous forme d'une somme double 20-09-09 à 23:22

Je me suis embrouillé, ceci ne marche que pour la diagonale principale.

Pour un regroupement diagonal, je trouve donc la double somme :
\sum_{i=0}^{n-1}\,\sum_{j=i}^{n-1}\,{\omega^{i}^2\times\omega^{-(i-j)}^2}+\sum_{i=0}^{n-1}\,\sum_{j=i}^{n-1}\,{\omega^{-i}^2\times\omega^{(j-i)}^2}
En espérant que ça aide quelqu'un (et que je ne me sois pas trompé).

John

Posté par
JohnDoere : Mettre un complexe sous forme d'une somme double 20-09-09 à 23:23

Ou plutôt \sum_{i=0}^{n-1}\,\sum_{j=i}^{n-1}\,{\omega^{i}^2\times\omega^{-(i-j)}^2}+\sum_{i=1}^{n-1}\,\sum_{j=i}^{n-1}\,{\omega^{-i}^2\times\omega^{(j-i)}^2}...
N'y a-t-il pas un bouton éditer afin de corriger les erreurs sans avoir à faire de double post?

Posté par
JohnDoere : Mettre un complexe sous forme d'une somme double 20-09-09 à 23:34

Rah! Ceci serait plutôt \sum_{j=0}^{n-1}\,\sum_{i=j}^{n-1}\,{(\omega^{i})^2\times(\omega^{-(i-j)})^2}+\sum_{j=1}^{n-1}\,\sum_{i=j}^{n-1}\,{(\omega^{-i})^2\times(\omega^{(i-j)})^2}. Toutes mes excuses encore pour les double posts, il se fait tard et je n'ai plus toute ma tête...


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