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Module de torsion
Bonjour,
encore un post sur les modules !
Dans un exo, on veut montrer que si A et B sont des groupes abéliens de type fini, et que A
A
BB alors AB.
On le fait d'abord dans le cas où A et B sont finis, là ça va.
Puis dans le cas où A et B sont de type fini, on écrit que A
n, et Bm, où et
sont les sous modules de torsion de A et B.
Puis on écrit que AABB est équivalent à AtAtBtBt et n=m
Puis la correction dit "or AtAtBtBt implique AtBt d'après le 1er cas".
Ceci laisse entendre que At et Bt sont des groupes abéliens finis ; c'est vrai ? Et si oui, pourquoi ?
Merci de votre aide !
Si tu as le théorème sur les structures de modules,
tu en déduis que le sous-module de torsion de ton groupe
s'écrit sous forme
où
quelque soit
.
Et un produit fini de groupes cycliques, c'est bien un groupe abélien fini.
Un groupe abélien de type fini est engendré par un nombre fini de générateur si il est de torsion tes générateurs sont d'ordre fini donc ton groupe est fini.
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