Bonjour à tous
Je bloque en ce moment sur l'exo sympa suivant:
Citation :
Soit
un
-module noethérien et
l'annulateur de
dans
.
Montrez que
est un anneau noethérien.
Mon idée est tout bebête: On procède par l'absurde en supposant l'existence d'un suite
d'éléments de
telle que pour tout n on ait:
(inclusion stricte bien évidemment).
On montre alors que
ce qui contredit l'hypothèse "M est noethérien".
Oui mais voilà, j'arrive pas vraiment à montrer que
est
effectivement une suite strictement croissante de sous modules de M...
En traduisant l'hypothèses "M est noethérien" sous la forme
la famille des
étant finie je me retrouve avec un système n équation n inconnues sur un anneau qui n'est
a priori même pas intègre...
Bref la galère quoi et pourtant je suis persuadé que ça va marcher...
Quelqu'un aurait-il une ch'tite idée? J'ai surement dû passer à côté de quelque chose foncièrement bête mais là... nada je vois plus rien.
Merci d'avance.
Ayoub
P.S: J'ai toujours eu la sale manie d'appeller les éléments d'un anneau et leur classe d'équivalence dans l'anneau quotient de la même façon. Donc prière de ne pas dégainer pour mes notations.